Corpo su piano inclinato scabro contro molla

Un corpo di massa $m=500g$ scivola, con velocità iniziale $v_0=5m/s$, su di un piano scabro inclinato di $\theta=45°$ rispetto all'orizzontale e con coefficiente d'attrito $\mu=0.4$ da un'altezza $h_A=3m$. Alla fine del piano inclinato prosegue la sua corsa seguendo il percorso privo di attrito mostrato in figura, fino a raggiungere la molla del punto C. Sapendo che la molla è posta ad un'altezza $h_C=2m$ e che si comprime di $\Delta x=0.2m$, calcolare:

  1. l'energia totale meccanica nel punto iniziale e nei punti A,B,C (risoluzione);
  2. la costante elastica della molla (risoluzione).

Moto di un corpo su un piano inclinato scabro e su un tratto curvilineo liscio

Svolgimento

PUNTO a)

Nel tratto iniziale non possiamo applicare la conservazione dell'energia per la presenza di forze di attrito. L'energia meccanica iniziale è: $$E_{mecc}^i=E_{cin}^i+E_{pot}^i=\frac{1}{2}mv_0^2+mgh_A=\frac{1}{2}\cdot 0.5\cdot 5^2+0.5\cdot 9.81\cdot 3=20.97J$$

L'energia meccanica in A e in B sono entrambe date solo dalle energie cinetiche in A e B poichè le energie potenziali sono nulle: $$\begin{array}{l} E_{mecc}^A = &E_{cin}^A=\frac{1}{2}mv_A^2\\ E_{mecc}^B = &E_{cin}^B=\frac{1}{2}mv_B^2\end{array}$$

Inoltre, visto che il tratto AB è liscio, l'energia cinetica si conserva e si ha che $v_A=v_B$.

Possiamo ricavare $v_A$ applicando il teorema energia-lavoro nel tratto iniziale (piano inclinato) ma prima dobbiamo determinare la forza di attrito a cui è soggetto il corpo $$F_a = \mu\cdot mg\cos\theta =0.4\cdot 0.5\cdot 9.81\cos 45°=1.39N$$ e la lunghezza l del tratto percorso (applicando uno dei teoremi sui triangoli rettangoli: cateto = ipotenusa x seno dell'angolo opposto) $$h_A = l\cdot \sin\theta\ \Rightarrow\ l=\frac{h_A}{\sin\theta}=\frac{3}{\sin 45°}=4.24m$$

Applicando il teorema dell'energia-lavoro, dunque, si ha: $$\begin{array}{l} L_{tot} = \Delta E_{cin}\\ L_{peso}+L_{attrito} = E_{cin}^A-E_{cin}^i\\ mgh_A - F_a\cdot l = \frac{1}{2}mv_A^2-\frac{1}{2}mv_0^2\\ \cancel{m}gh_A - \mu\cdot \cancel{m}g\cos\theta\cdot l = \frac{1}{2}\cancel{m}v_A^2-\frac{1}{2}\cancel{m}v_0^2\\ \frac{1}{2}v_A^2 = gh_A - \mu\cdot g\cos\theta\cdot l+\frac{1}{2}v_0^2\\ v_A^2 = 2gh_A - 2\mu\cdot g\cos\theta\cdot l+v_0^2\\ v_A = \sqrt{2gh_A - 2\mu\cdot g\cos\theta\cdot l+v_0^2}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 3-2\cdot 0.4\cdot 9.81\cdot\cos 45°\cdot 4.24+5^2}=7.77m/s\end{array}$$

Per quanto detto, le energie meccaniche in A e B coincidono e valgono: $$E_{mecc}^A=E_{mecc}^B = E_{cin}^A=\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}\cdot 0.5\cdot 7.77^2=15.09J$$

Infine, l'energia meccanica in C è data dalla sola energia potenziale (della forza peso e della molla), dato che la velocità in tale punto è nulla a causa dell'arresto del corpo provocato dalla molla: $$E_{mecc}^C = E_{pot}^C=mgh_C+\frac{1}{2}k\Delta x^2$$

Tale quantità può essere calcolata solo dopo aver trovato la costante elastica $k$ della molla.

PUNTO b)

Per trovare la costante elastica, basta applicare il teorema della conservazione dell'energia nel tratto BC ricordando che l'energia potenziale in B e l'energia cinetica in C sono nulle: $$\begin{array}{l} E_{cin}^B+E_{pot}^B = E_{cin}^C+E_{pot}^C\\ \frac{1}{2}mv_B^2 = mgh_C+\frac{1}{2}k\Delta x^2\\ \frac{1}{2}k\Delta x^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 - mgh_C\\ k\Delta x^2 = mv_B^2 - 2mgh_C\\ k = \frac{mv_B^2 - 2mgh_C}{\Delta x^2}=\frac{0.5\cdot 7.77^2-2\cdot 0.5\cdot 9.81\cdot 2}{0.2^2}=264.16\end{array}$$

Calcoliamo anche l'energia meccanica in C lasciata prima in sospeso: $$E_{mecc}^C = E_{pot}^C=mgh_C+\frac{1}{2}k\Delta x^2=0.5\cdot 9.81\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 264.16\cdot 0.2^2=15.09J$$

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