Moto di un corpo su un piano inclinato scabro

Un blocco di massa $m=1kg$ viene lanciato con velocità iniziale $v_0=3m/s$ su per un piano inclinato scabro. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano è $\mu_d=0.2$ e che l'angolo di inclinazione del piano con l'orizzontale è $\theta=30°$, calcolare:

  1. la distanza $d$ percorsa dal blocco lungo il piano, prima di fermarsi; (risoluzione)
  2. il tempo impiegato a percorrere tale distanza; (risoluzione)
  3. quanto dovrebbe valere il coefficiente di attrito statico $\mu_s$ affinchè, una volta percorsa la distanza $d$, il blocco resti fermo? (risoluzione)
  4. se il coefficiente di attrito statico è $\mu_s=0.3$, con quale velocità il blocco torna alla base del piano inclinato? (risoluzione)

Svolgimento

Dinamica di un corpo che si muove con velocità iniziale su per un piano inclinato scabro

PUNTO a)

Come possiamo vedere dal disegno soprastante, le forze che agiscono sul corpo sono:

  1. la forza peso $P=mg$ diretta verso il basso;
  2. la reazione vincolare $N$ del piano, opposta a $P$ che sostiene la massa;
  3. la forza di attrito $F_a$ dovuta all'attrito del piano e diretta nel verso opposto al senso di marcia.

In particolare, lungo la direzione verticale agiscono la componente verticale della forza peso $P_y$ e la normale $N$. Per il secondo principio di Newton, la sommatoria di queste due forze è nulla, dato che il corpo nè si solleva, nè sprofonda (in altre parole, resta in equilibrio lungo $y$). Quindi, l'equazione della dinamica lungo la direzione verticale è: $$N-P_y=0$$ dove $P_y=mg\cos\theta$ (applicando il teorema sul triagolo rettangolo di cateti $P_y$ e $P_x$). Possiamo, dunque, ricavare la reazione vincolare: $$N=mg\cos\theta$$

Invece, lungo la direzione orizzontale (quella del piano) agiscono la componente orizzontale della forza peso $P_x$ e la forza d'attrito $F_a$. Lungo questa direzione, però, il corpo non si trova in equilibrio a causa della spinta iniziale che gli viene impressa; di conseguenza, l'equazione che esprime il secondo principio della dinamica lungo l'asse $x$ è: $$-F_a-P_x=ma$$ dove $F_a=\mu_dN$ (definizione di forza di attrito) e $P_x=mg\sin\theta$ (applicando il solito il teorema sul triagolo rettangolo di cateti $P_y$ e $P_x$). Notiamo,inoltre, che nell'equazione precedente abbiamo messo il segno meno a tutte le forze che hanno verso opposto a quello dello spostamento del corpo.

Sostituendo le espressioni di $F_a$ e $P_x$ (e quindi, anche quella di $N$) nell'equazione della dinamica, otteniamo l'accelerazione $a$: $$\begin{array}{l} -\mu_dmg\cos\theta-mg\sin\theta=ma\\ a=-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g\end{array}$$

Al fine di determinare la distanza d, osserviamo che il moto del corpo è un moto uniformemente accelerato e le espressioni della velocità e dello spostamento sono: $$\begin{cases} v=v_0+at\\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\end{cases}$$ nelle quali bisogna imporre $v=0$ (velocità finale del corpo nel punto di ascissa $d$), $a=-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g$ (calcolata in precedenza), $x=d$ (distanza percorsa dal corpo) e $x_0=0$ (punto di ascissa iniziale del moto del corpo): $$\begin{cases} 0=v_0-(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)gt\\ d=v_0t-\frac{1}{2}(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)gt^2\end{cases}$$

Ricavando facilmente il tempo dalla prima equazione $t=\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}$ e sostituendolo nella seconda, otteniamo la distanza $d$ cercata: $$\begin{eqnarray} d&=&v_0\cdot\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}-\frac{1}{2}\cancel{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)}\cancel{g}\cdot \frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)^{\cancel{2}}g^{\cancel{2}}}=\\ &=&\frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\\ &=&\frac{v_0^2}{2(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\frac{3^2}{2(0.2\cdot\cos30°+\sin30°)\cdot 9.81}=0.68m\end{eqnarray}$$

PUNTO b)

L'espressione del tempo impiegato per percorrere tale distanza è già stata trovata e possiamo immediatamente calcolarlo: $$t=\frac{v_0}{(\mu_d\cos\theta+\sin\theta)g}=\frac{3}{(0.2\cdot\cos30°+\sin30°)\cdot 9.81}=0.45s$$

PUNTO c)

Il coefficiente di attrito statico che il piano dovrebbe avere affinchè il corpo non scivoli (quando il corpo è in equilibrio la sommatoria delle forze agenti è nulla), si determina applicando la seconda legge di Newton lungo il piano, ovvero: $$-F_s+P_x=0$$ dove, sapendo che la forza di attrito statico è $F_s=\mu_sN$, risulta: $$-\mu_s mg\cos\theta+mg\sin\theta=0$$

Da quest'ultima, otteniamo $\mu_s$: $$\mu_s=\frac{\cancel{mg}\sin\theta}{\cancel{mg}\cos\theta}=\tan\theta=\tan 30°=0.58$$

PUNTO d)

Per ricavare la velocità finale del blocco in discesa è necessario considerare l'equazione della dinamica precedente dove stavolta al secondo membro deve esserci il termine $ma$: $$-F_s+P_x=ma$$ da cui $$a=\frac{-F_s+P_x}{m}=\frac{-\mu_smg\cos\theta+mg\sin\theta}{m}=-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)$$

A questo punto, consideriamo nuovamente le equazioni della velocità e dello spostamento del corpo in discesa che si muove di moto uniformemente accelerato: $$\begin{cases} v=v_0+at\\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\end{cases}$$ Sostituendo il valore di $a$ nella seconda,dopo alcuni passaggi, ricaviamo il tempo: $$t=\sqrt{\frac{2d}{-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}}$$

La velocità $v$ si ricava, infine dalla prima equazione sostituendo $a$ e $t$ e $v_0=0$: $$v=-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)\sqrt{\frac{2d}{-g(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}}=\sqrt{-2dg(\mu_s\cos\theta-\sin\theta)}=2.17m/s$$

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