Applicazione del teorema di Gauss: campo elettrostatico di una lastra infinitamente carica

Il campo elettrostatico generato da una lastra infinitamente carica (positivamente o negativamente) è un vettore con direzione perpendicolare alla lastra stessa, il cui verso dipende dal segno della carica (carica positiva - campo uscente; carica negativa - campo entrante) e il cui modulo è costante e non dipende dal punto in cui si calcola in campo elettrico ma solo dalla densità superficiale di carica, in particolare sarà ad essa proporzionale.

Infatti, se definiamo la densità superficiale di carica $\sigma$ come la carica per unità di superficie $$\sigma = \frac{Q}{S} \frac{C}{m^2}$$ si ha che il modulo campo elettrostatico generato dalla lastra è $$E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$

Quest'ultima formula è una pura applicazione del teorema di Gauss. Consideriamo una superficie cilindrica le cui basi hanno area $A$ posto in modo che le sue due basi risultino parallele alla lastra. 

 

campo elettrico lastra infinitamente carica

 

Il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro è dato soltanto dal flusso attraverso le due basi: infatti la perpendicolare alle due basi risulta parallela al vettore campo elettrico e il coseno dell'angolo formato risulta $\cos 0 = 1$ (per vedere la definizione di flusso clicca qui). La superficie laterale non dà invece alcun contributo in quanto il vettore ad esso perpendicolare, risulterà perpendicolare anche al vettore campo elettrico e quindi il coseno dell'angolo che essi formano sarà nullo).

Il flusso sarà quindi $$\Phi = 2 \cdot A \cdot E$$(nota che il fattore "2" è dovuto alla somma dei contributi del flusso sulle due basi del cilindro).

Adesso, indicata con $Q$ la carica contenuta dentro la superficie cilindrica, sappiamo per il Teorema di Gauss che il flusso del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche su una superficie chiusa è il rapporto tra la carica contenuta dalla superficie e la costante dielettrica nel vuoto, cioè $$2 \cdot A \cdot E = \frac{Q}{\epsilon_0}$$da cui ricaviamo che $$E = \frac{Q}{2 \epsilon_0 \cdot A} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

Esempio

Una lastra infinitamente estesa ha una densità superficiale di carica pari a $2 nC/m^2$. Determinare il modulo del campo elettrico.

Abbiamo già osservato che il modulo del campo elettrico è $$E= \frac{\sigma}{2 \cdot \epsilon_0}$$

L'unica cosa a cui bisogna stare attenti è convertire i nano coulomb in coulomb, moltiplicando per $10^{-9}$. Quindi si ha $$E= \frac{2 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 8,9 \cdot 10^{-12}} = 0.112 \cdot 10^3 = 112 N/C$$

Fonte: Phisica2000, A. Caforio, A. Ferilli.

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