Componenti accelerazione e momento angolare totale

Una forza costante agisce su un punto materiale di massa $m=2kg$ compiendo un lavoro $L=3J$ e spostando il punto per un tratto $s=10cm$. Sapendo che rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano $Oxy$, la forza forma un angolo $\theta =30°$ con l'asse $x$ e il corpo alla fine dello spostamento ha una posizione $\vec{r}=4\vec{x}+2\vec{y}$ (m), si determini:

  1. le componenti dell'accelerazione subita dal punto; (risoluzione)
  2. il momento angolare totale dopo 3 secondi; (risoluzione)
  3. il modulo del vettore posizione. (risoluzione)

Svolgimento

PUNTO a)

Il lavoro di una forza costante è dato dal prodotto scalare della forza per lo spostamento percorso, ossia: $$\vec{L}=\vec{F}\cdot\vec{s}$$ da cui il modulo della forza: $$F = \frac{L}{s}=\frac{3}{0.1}=30N$$

Dal secondo principio della dinamica, la forza è data anche dal prodotto della massa per l'accelerazione del corpo: $$\vec{F}=m\cdot \vec{a}$$ da cui il modulo dell'accelerazione $$a=\frac{F}{m}=\frac{30}{2}=15m/s^2$$

Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli (vedi figura) è possibile trovare la componente orizzontale $a_x$ e la componente verticale $a_y$ dell'accelerazione avendo il modulo: $$\begin{cases} a_x &= a\cdot\cos\theta =15\cdot\cos 30°=15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12.99m/s^2\\ a_y &= a\cdot\sin\theta =15\cdot\sin 30°=15\cdot\frac{1}{2}=7.5m/s^2\end{cases}$$

Scomposizione del vettore accelerazione nelle componenti orizzontale e verticale

PUNTO b)

Analogamente a quanto fatto per l'accelerazione, troviamo le componenti orizzontale e verticale della forza: $$\begin{cases} F_x &= F\cdot\cos\theta =15\cdot\cos 30°=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=25.98N\\ F_y &= F\cdot\sin\theta =15\cdot\sin 30°=30\cdot\frac{1}{2}=15N\end{cases}$$

Il momento angolare totale dopo un certo tempo $\Delta T$ è dato da: $$\Delta L = M\cdot\Delta T$$ dove $M$ è il momento della forza ed è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione $\vec{r}$ e il vettore forza $\vec{F}$: $$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\ r_x & r_y & 0 \\ F_x & F_y & 0 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\ 4 & 2 & 0 \\ 25.98 & 15 & 0 \end{array} \right|=(4\cdot 15 - 25.98\cdot 2)\vec{z}=8.04\vec{z}$$ il cui modulo è $M=8.04N\cdot m$

Si ha, dunque $$\Delta L = M\cdot\Delta T = 8.04\cdot 3=24.12\frac{kg\cdot m^2}{s}$$

PUNTO c)

Il modulo del vettore posizione $\vec{r}$ è la radice quadrata della somma delle sue componenti al quadrato: $$r=\sqrt{r_x^2+r_y^2}=\sqrt{4^2+2^2}=4.47m$$

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