Disequazioni irrazionali risolte

In questo articolo, proponiamo la risoluzione di un elenco di disequazioni con le radici. Di seguito le disequazioni irrazionali che andremo a risolvere (clicca su ognuna di loro per visualizzare la risoluzione).

  1. $\frac{2+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-4}-2x+3}\le 0$
  2. $\sqrt{x^2-5x+6} > x-1$
  3. $\sqrt{x-2}+\frac{2}{\sqrt{x-1}} > 0$
  4. $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\leq\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$

Inoltre, se vuoi esercitarti tu stesso, ti propongo alcune disequazioni irrazionali da risolvere (clicca qui).

Disequazione 1

$$\frac{2+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-4}-2x+3}\le 0$$

Per prima cosa calcoliamo il campo di esistenza della disequazione essendo presenti due radici:

$\begin{cases} x^2-1\ge 0\\ x^2-4\ge 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -1\ \vee\ x\ge 1\\ x\le -2\ \vee\ x\ge 2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\mbox{C.E.}\quad x\le -2\ \vee\ x\ge 2$

Risolviamo la disequazione fratta osservando che il numeratore è sempre maggiore di 0 all'interno del campo di esistenza trovato. Pertanto, la frazione assumerà segno negativo se e solo se il denominatore è minore di 0:

$\sqrt{x^2-4}-2x+3 < 0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2-4} < 2x-3$

Quest'ultima è equivalente al sistema:

$\begin{cases} x^2-4\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ x^2-4 < 4x^2-12x+9\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -2\ \vee\ x\ge 2\\ x\ge\frac{3}{2}\\ 3x^2-12x+13 > 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x\le -2\ \vee\ x\ge 2\\ x\ge\frac{3}{2}\\ \forall x\in\mathbb{R}\end{cases}$

Infatti, l'ultima disequazione, avendo delta negativo, è verificata per tutti i valori di $x$. La soluzione del precedente sistema è $x\ge 2$ ed è anche la soluzione della disequazione iniziale poichè soddisfa le condizione del campo di esistenza.

Disequazione 2

$$\sqrt{x^2-x} < x+1$$

Essendo questa una disequazione irrazionale con verso minore, risulta essere equivalente al sistema: $$\begin{cases} x^2-x\geq 0\\ x+1\geq 0\\ x^2-x < x^2+2x+1\end{cases}$$

Risolvendo ciascuna disequazione, otteniamo: $$\begin{cases} x\leq 0\ \vee\ x\geq 1\\ x\geq -1\\ x >-\frac{1}{3}\end{cases}$$ che ha come soluzione la seguente unione di intervalli: $$-\frac{1}{3} < x\leq 0\ \vee\ x\geq 1$$

Disequazione 3

$$\sqrt{x^2-5x+6} > x-1$$

Si tratta di una Disequazione irrazionale con verso >, quindi dobbiamo risolvere i seguenti due sistemi: $$\begin{cases} x^2-5x+6\geq 0\\ x-1\geq 0 x^2-5x+6 > x^2-2x+1\end{cases}\ \vee\ \begin{cases} x^2-5x+6\geq 0\\ x-1 < 0\end{cases}$$

Il primo è equivalente a $$\begin{cases} x < 2\ \vee\ x > 3\\ x\geq 1 x < \frac{5}{3}\end{cases}$$ il quale ha soluzione $1\leq x < \frac{5}{3}$.

Mentre invece, il secondo si può riscrivere come $$\begin{cases} x < 2\ \vee\ x > 3\\ x < 1\end{cases}$$ e ha come soluzione l'intervallo $x < 1$.

L'unione delle soluzioni del primo e del secondo sistema è dunque $$1\leq x < \frac{5}{3}\ \vee\ x < 1$$ ossia l'intervallo $x < \frac{5}{3}$.

Disequazione 4

$$\sqrt{x-2}+\frac{2}{\sqrt{x-1}} > 0$$

Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza delle due radici: $$\begin{cases} x-2\geq 0\\ x-\ > 0\end{cases}$$

Tale sistema è verificato per $x\geq 2$.

Per risolvere questa disequazione irrazionale dobbiamo per prima cosa calcolare il m.c.m ($\sqrt{x-1}$) e ridurla tutta ad un'unica frazione: $$\frac{\sqrt{(x-2)(x-1)}+2}{\sqrt{x-1}} > 0$$

Osserviamo che, essendo i radicali quantità non negative, sia il numeratore che il denominatore della frazione a primo membro sono positivi per tutti quei valori di $x$ che soddisfano le condizioni di esistenza. Per tale motivo la soluzione è proprio $x\geq 2$.

Disequazione 5

$$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\leq\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$$

Tale disequazione è equivalente a un sistema formato dalle condizioni di esistenza delle due radici e dalla disequazione che si ottiene elevando al quadrato entrambi i membri, ossia: $$\begin{cases} \frac{x+1}{x-1}\geq 0\\ \frac{x+2}{x-2}\geq 0\\ \frac{x+1}{x-1}\leq \frac{x+2}{x-2}\end{cases}$$

Le precedenti, sono tutte Disequazioni fratte che, risolte ad una ad una, portano al seguente sistema equivalente: $$\begin{cases} x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\\ x\leq -2\ \vee\ x\geq 2\\ 0\leq x < 1\ \vee\ x > 2\end{cases}$$ la cui soluzione è $x > 2$.

Disequazioni irrazionali da risolvere

  1. $\sqrt{x^2-4} < x+1$
  2. $2\sqrt{1-x+x^2} < 1-2x$
  3. $\sqrt{4x^2-11x}+5 > 2x$
  4. $\sqrt{x^2-7x+10}-x+4 < 0$

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