In questa pagina risolveremo quelle disequazioni che contengono sia le radici che il valore assoluto. Prima di tutto però, se è da poco che ti attingi a risolvere le disequazioni di questo tipo, ti consiglio di dare una lettura alle disequazioni con il valore assoluto e alle disequazioni irrazionali.
Se invece sei già un esperto nel risolvere i due tipi di disequazioni suddetti, puoi provare a risolvere queste che trovi di seguito per conto tuo oppure consultare lo svolgimento semplicemente cliccandoci sopra.
La prima cosa da fare quando ho di fronte una disequazione del genere è il campo di esistenza. In questo caso è necessario porre il radicando maggiore o uguale a zero per garantire l'esistenza della radice:
$-x^2+2x+3\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3\le 0\quad\Rightarrow\quad -1\le x\le 3$
Possiamo adesso iniziare a svolgere la disequazione data. Essendo una disequazione fratta, poniamo sia numeratore che denominatore maggiore di zero e risolviamo tali disequazioni separatamente:
- $|-x+1|-1 >0$
- $-2x+\sqrt{-x^2+2x+3} > 0$
Iniziamo con il risolvere la 1) osservando che si tratta di una disequazione con valore assoluto.
- $\begin{array}{l} |-x+1|-1 >0\quad\quad\Rightarrow\quad\quad |-x+1| > 1\quad\quad\Rightarrow\quad\quad -x+1 < -1\ \vee\ -x+1 > 1\quad\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad\quad x > 2\ \vee\ x < 0\quad\quad\Rightarrow\quad\quad x < 0\ \vee\ x > 2\end{array}$
Facciamo in modo che tale soluzione appartenga al campo di esistenza $-1\le x\le 3$ risolvendo il seguente sistema:
- $$\begin{cases} x < 0\ \vee\ x > 2\\ -1\le x\le 3\end{cases}$$
Banalmente, la soluzione del sistema è $-1\le x < 0\ \vee\ 2 < x \le 3$.
Risolviamo adesso la 2).
- $-2x+\sqrt{-x^2+2x+3} > 0 \quad\quad\Rightarrow\quad\quad \sqrt{-x^2+2x+3} > 2x$
Impostiamo i due sistemi per risolvere la precedente disequazione irrazionale:
- $(a)\begin{cases} -x^2+2x+3\ge 0\\ 2x\ge 0\\ -x^2+2x+3 > 4x^2\end{cases}\quad \vee\quad (b)\begin{cases} -x^2+2x+3\ge 0\\ 2x < 0\end{cases}$
Risolviamo dapprima il sistema (a):
- $\begin{cases} -x^2+2x+3\ge 0\\ 2x\ge 0\\ -x^2+2x+3 > 4x^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} x^2-2x-3\le 0\\ x\ge 0\\ 5x^2-2x-3 < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -1\le x\le 3\\ x\ge 0\\ -\frac{3}{5} < x < 1\end{cases}$
Dal grafico sottostante è evidente che la soluzione del sistema (a) è $0\le x < 1$
Risolviamo il sistema (b):
$\begin{cases} -x^2+2x+3\ge 0\\ 2x < 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} -1\le x\le 3\\ x < 0\end{cases}$
Il sistema precedente ha come soluzione $-1\le x < 0$
Uniamo le soluzioni dei sistemi (a) e (b) per trovare la soluzione della disequazione irrazionale 2):
$0\le x < 1\ \vee\ -1\le x < 0\quad\Rightarrow\quad -1\le x < 1$
Infine, mettiamo a prodotto dei segni le soluzioni delle disequazioni 1) e 2):
$$-1\le x < 0\ \vee\ 2 < x \le 3\quad\quad\mbox{a prodotto dei segni con}\quad\quad -1\le x < 1$$
Come si vede dal grafico, la soluzione è quella in corrispondenza dei segni meno, visto che la disequazione di partenza ha verso $<$. Dunque la soluzione è:
$$0 < x < 1\quad\vee\quad 2 < x \le 3$$
Risolvere la seguente disequazione mista:
$$|\sqrt{x+4}-3|\le 1$$Risolvere la seguente disequazione mista:
$$|\sqrt{x+4}-3|\le x$$