Disequazioni logaritmiche risolte

Se sei già esperto nel risolvere le equazioni logaritmiche e vuoi passare alla risoluzione delle disequazioni logaritmiche, in questa pagina ne puoi trovare tante risolte. Di seguito trovi i testi di quelle proposte.

  1. $(x^2-3x+2)\log(4x-x^2)>0$
  2. $1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0$
  3. $2^{\frac{x^2-11}{x+2}} < 4$

Disequazione 1

$$(x^2-3x+2)\log(4x-x^2)>0$$

Determiniamo le condizioni di esistenza della funzione logaritmica ponendo l'argomento maggiore di 0:

$$\begin{array}{l} 4x-x^2>0\quad\Rightarrow\quad x^2-4x < 0\\ x(x-4)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\ x=4\end{array}$$

Pertando le C.E. sono $0 < x < 4$.

La disequazione proposta si risolve ponendo entrambi i fattori moltiplicativi maggiori di 0:

  1. $x^2-3x+2>0$
  2. $\log(4x-x^2)>0$

La 1) si risolve trovando le soluzione dell'equazione associata:

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=1,\ x=2$$

Pertanto le soluzioni della 1) sono $x<1\ \vee\ x>2$.

Risolviamo la 2) (clicca qui se non ricordi come si risolvono le disequazioni logaritmiche).

$$\begin{array}{l} \log(4x-x^2)>\log 1\quad\Rightarrow\quad 4x-x^2-1>0\\ x^2-4x+1 < 0;\quad x=2\pm\sqrt{4-1}=2\pm\sqrt{3}\end{array}$$

Le soluzioni della 2) sono quindi $2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$.

Adesso, mettiamo a prodotto dei segni le soluzioni di 1) e 2) come mostra il seguente grafico:

prodotto segni diseq log

Si ha, dunque, $2-\sqrt{3} < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}$. Di tale soluzione, dobbiamo prenderne solo la parte che soddisfa le C.E. inizialmente calcolate, ovvero bisogna svolgere il seguente sistema:

$$\begin{cases} 2-\sqrt{3} < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}\\ 0 < x < 4\end{cases}$$

il cui risultato è $0 < x < 1\ \vee\ 2 < x < 2+\sqrt{3}$.

Disequazione 2

$$1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0$$

Tale disequazione è equivalente al sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{8x-4}{x^2+x}>0\\ 1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0\end{array}\right.$$

La prima condizione del sistema è il campo di esistenza del logaritmo dentro cui dobbiamo trovare le eventuali soluzioni della disequazione proposta:

$\frac{8x-4}{x^2+x}>0\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} 8x-4>0\quad\Rightarrow x>\frac{4}{8}\quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{2}\\ x^2+x>0\quad\Rightarrow x(x+1)>0\quad\Rightarrow\quad x < -1\ \vee\ x>0\end{array}$

Facciamo il prodotto dei segni di queste due ultime disequazioni trovate:

prodotto dei segni di una disequazione fratta

Prendendo la parte positiva, la disequazione fratta è soddisfatta per:

$$-1 < x < 0\ \vee\ x >\frac{1}{2}$$

Risolviamo la seconda disequazione del sistema:

$1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>-1\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\quad\Rightarrow\quad \log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>\log_{\frac{1}{2}}2$

A questo punto possiamo togliere i logaritmi ricordandoci che, quando la base è compresa tra $0$ e $1$, il verso della disequazione cambia:

$\frac{8x-4}{x^2+x}<2\quad\Rightarrow\quad \frac{8x-4}{x^2+x}-2 < 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{8x-4-2x^2-2x}{x^2+x} < 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{-2x^2+6x-4}{x^2+x} < 0$

Risolviamo la disequazione fratta ottenuta:

$\frac{-2x^2+6x-4}{x^2+x} < 0\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} -2x^2+6x-4>0\quad\Rightarrow x^2-3x+2 < 0\quad\Rightarrow\quad 1 < x < 2\\ x^2+x>0\quad\Rightarrow\quad x < -1\ \vee\ x>0\end{array}$

prodotto dei segni di una disequazione fratta con logaritmo

Prendendo la parte negativa del grafico, la seconda disequazione è soddisfatta per:

$$x < -1\ \vee\ 0 < x < 1\ \vee\ x > 2$$

Concludiamo riscrivendo il sistema ottenuto:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{8x-4}{x^2+x}>0\\ 1+\log_{\frac{1}{2}}\frac{8x-4}{x^2+x}>0\end{array}\right. \quad\Rightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} -1 < x < 0\ \vee\ x >\frac{1}{2}\\ x < -1\ \vee\ 0 < x < 1\ \vee\ x > 2\end{array}\right.$$ rappresentazione grafica del sistema tra due disequazioni

La soluzione della disequazione iniziale è quindi:

$$\frac{1}{2} < x < 1\ \vee\ x > 2\quad\quad\mbox{oppure analogamente}\quad\quad ]1/2,1[\ \cup\ ]2,+\infty[$$

Disequazione 3

$$2^{\frac{x^2-11}{x+2}} < 4$$ p>Riscrivendo $4$ come $2^2$ la disequazione data è soddisfatta se e soltanto se è soddisfatta la seguente disequazione:

$$\frac{x^2-11}{x+2} < 2$$

In sostanza, la disuguaglianza tra due funzioni esponenziali è soddisfatta se e solo se è soddisfatta la disuguaglianza tra i rispettivi esponenti. Risolviamo, quindi, la disequazione appena ottenuta.

$\frac{x^2-11}{x+2}-2 < 0\quad\Rightarrow\quad \frac{x^2-11-2x-4}{x+2} < 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2-2x-15}{x+2} < 0$

Quest'ultima disequazione di tipo fratta:

$\frac{x^2-2x-15}{x+2} < 0\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} x^2-2x-15 > 0\quad\Rightarrow\quad x < -3\ \vee x > 5\\ x+2 > 0\quad\Rightarrow\quad x>-2\end{array}$

Mettiamo a prodotto dei segni le due soluzioni ottenute:

prodotto dei segni in una disequazione esponenziale

Considerando solo le regioni negative del grafico, avremo che le soluzioni della disequazione iniziale sono:

$$x < -3\ \vee\ -2 < x < 5\quad\quad\mbox{oppure analogamente}\quad\quad ]-\infty,-3[\ \cup\ ]-2,5[$$

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