Disequazioni fratte risolte

In questo articolo puoi esercitarti con la risoluzione delle disequazioni fratte. Qui di seguito trovi diverse disequazioni fratte risolte. Se sei ancora alle prime armi, ti consiglio una lettura preliminare al seguente link (click!

  1. $\large{\frac{3x}{x^2-1}>2}$
  2. $\large{\frac{x^2-2x-3}{4x-x^2} < 0}$
  3. $\large{\frac{2x+3}{4x+4}-1\leq\frac{x-1}{x+1}}$
  4. $\large{\frac{x^2-1}{x}>0}$
  5. $\large{\frac{9x^2+2}{x^2-5x+6} < 0}$

Disequazione 1

$$\frac{3x}{x^2-1}>2$$

Portiamo tutti i termini al primo membro lasciando $0$ al secondo membro ed eseguiamo il minimo comune multiplo:

$$\frac{3x}{x^2-1}-2>0\quad\Rightarrow\quad\frac{-2x^2+3x+2}{x^2-1}>0$$

Per risolvere una disequazione fratta poniamo numeratore e denominatore entrambi maggiore di $0$ $$-2x^2+3x+2>0\quad\Rightarrow\quad 2x^2-3x-2 < 0\quad\Rightarrow\quad\mbox{per } -\frac{1}{2} < x < 2$$ $$x^2-1>0 \quad\Rightarrow\quad\mbox{per } x<-1\ \vee\ x>1$$

A questo punto mettiamo a prodotto dei segni le soluzioni ottenute:

prodotto segni disequazione

Dal grafico soprastante deduciamo che le soluzioni della disequazione fratta sono:

$$-1 < x < -\frac{1}{2}\ \vee\ 1 < x < 2$$

Disequazione 2

$$\frac{x^2-2x-3}{4x-x^2} < 0$$

Come detto nella teoria, anche se il verso è minore, imponiamo numeratore e denominatore maggiori di zero.

Consideriamo dapprima $N>0$, ossia $x^2-2x-3>0$. Troviamo le radici dell'equazione associata utilizzando la formula semplificata del delta: $$\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=& 1\pm\sqrt{1+3}=\\ &=& 1\pm 2= \begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} 3\ \\ \\ -1\end{array} \end{eqnarray*}$$

La disequazione ha dunque soluzione: $$x < -1\ \vee\ x>3\ (\bigstar)$$

Studiamo il segno del denominatore: $$4x-x^2>0\ \Rightarrow\ x^2-4 < 0$$

Essendo le radici di quest'ultima $x_{1,2}=\pm 2$, la disequazione sopra ha soluzioni interne, ossia: $$-2 < x < 2\ (\bigstar\bigstar)$$

Eseguendo il prodotto dei segni tra $(\bigstar)$ e $(\bigstar\bigstar)$:

Studio del segno di una disequazione fratta e considerando gli intervalli con il segno - ricaviamo la soluzione della disequazione fratta di partenza: $$x < -2\ \vee\ -1 < x < 2\ \vee\ x>3$$

Utilizzando la notazione intervallare possiamo riscriverla come segue: $$]-\infty, -2[\ \cup\ ]-1,2[\ \cup\ ]3,+\infty[$$

Disequazione 3

$$\frac{2x+3}{4x+4}-1\leq\frac{x-1}{x+1}$$

Semplifichiamo portando tutti i termini al primo membro e calcolando il minimo comune multiplo: \begin{array}{l} \frac{2x+3}{4(x+1)}-1-\frac{x-1}{x+1}\leq 0\\ \frac{2x+3-1\cdot(4x+4)-4(x-1)}{4(x+1)}\leq 0\\ \frac{2x+3-4x-\cancel{4}-4x+\cancel{4}}{4(x+1)}\leq 0\\ \frac{-6x+3}{4(x+1)}\leq 0\end{array}$$

Si tratta di una disequazione fratta di primo grado. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore: $$\begin{array}{l} -6x+3\geq 0\Rightarrow \ \\ 4(x+1)\geq 0\Rightarrow \ \end{array} \begin{array}{l} x\leq \frac{1}{2} \\ x > 1\end{array}$$

Rappresentando queste ultime sulla retta reale e facendo il prodotto dei segni troviamo la soluzione $x < -1\ \vee\ x\geq\frac{1}{2}$.

Studio del segno di una disequazione fratta di primo grado

Disequazione 4

$$\frac{x^2-1}{x}>0$$

Si tratta di una disequazione fratta di secondo grado di cui possiamo studiarne direttamente il segno del numeratore e del denominatore: $$\begin{array}{l} x^2-1 > 0 \Rightarrow \ \\ x > 0\Rightarrow \ \end{array}\ \begin{array}{l} x < -1\ \vee\ x > 1\\ x > 0\end{array}$$

Il grafico dello studio del segno è il seguente:

Studio del segno di una disequazione fratta di secondo grado da cui, prendendo gli intervalli con il segno + ricaviamo la soluzione della disequazione fratta: $$-1 < x < 0\ \vee\ x>1$$

Disequazione 5

$$\frac{9x^2+2}{x^2-5x+6} < 0$$

Notiamo che il numeratore assume segno positivo per ogni valore di $x$, ossia: $$9x^2+2 > 0\ \forall x\in\mathbb{R}$$

Mentre invece il segno del denominatore va studiato imponendo $$x^2-5x+6>0$$

Troviamo le radici dell'equazione associata: $$\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=& \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\\ &=& \frac{5\pm 1}{2}= \begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} 3\ \\ \\ 2\end{array} \end{eqnarray*}$$

Dunque la soluzione dell'equazione di secondo grado è $$x < 2\ \vee\ x >3$$

Il grafico del segno è il seguente:

Grafico dello studio del segno di una disequazione fratta

Notiamo che abbiamo tracciato una linea continua per il numeratore dato che comprende tutte le soluzioni ($\forall x\in\mathbb{R}$). Inoltre, dal prodotto dei segni esce fuori che la disequazione fratta assume valore negativo per $$2 < x < 3$$

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