Equazioni sul calcolo combinatorio risolte

Rieccoci con un'altra lezione sul calcolo combinatorio e in particolare sulla risoluzione di equazioni e disequazioni in cui compaiono disposizioni, permutazioni e coefficienti binomiali. Se non conosci ancora le formule di calcolo di disposizioni, permutazioni e combinazioni, prima di proseguire con la lettura di questa pagina, ti consiglio di dare un'occhiata a questo articolo.

  1. $x^3-2xD_{x-1,2}=2(24-x)-D_{x,3}$
  2. $5{x\choose 3}\le {x+2\choose 3}$

Esercizio 1

$$x^3-2xD_{x-1,2}=2(24-x)-D_{x,3}$$

Ricordando che le disposizioni semplici di $n$ elementi in $k$ posti sono date da $D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$, si ha:

$$x^3-2x\frac{(x-1)!}{(x-1-2)!}=2(24-x)-\frac{x!}{(x-3)!}$$

A secondo membro, riscriviamo $x!=x(x-1)!$ in modo da ottenere un termine simile a quello presente al primo membro e poterli così sommare:

$$\begin{array}{l} x^3-2x\frac{(x-1)!}{(x-3)!}-48+2x+\frac{x(x-1)!}{(x-3)!}=0\\ x^3-x\frac{x(x-1)!}{(x-3)!}+2x-48=0\end{array}$$

Riscriviamo il fattoriale al numeratore della frazione $(x-1)!=(x-1)(x-2)(x-3)!$ in modo da poterlo semplificare con il denominatore:

$$\begin{array}{l} x^3-x\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}+2x-48=0\\ x^3-x(x^2-3x+2)+2x-48=0\\ 3x^2=48\ \Rightarrow\ x^2=\frac{48}{3}=16\ \Rightarrow\ x=4\end{array}$$

Abbiamo escluso la soluzione $x=-4$ perchè per ipotesi $x>0$ visto che il fattoriale non è definito per i numeri negativi.

Esercizio 2

$$5{x\choose 3}\le {x+2\choose 3}$$

Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza del coefficiente binomiale:

$$\begin{cases}x\geq 3\\ x+2\geq 3\\ x\in\mathbb{Z}\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}x\geq 3\\ x\geq 1\\ x\in\mathbb{Z}\end{cases}$$

ossia $x\geq 3,\ x\in\mathbb{Z}$.

Ricordando che il coefficiente binomiale $n\choose k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, si ha:

$$\begin{array}{l} 5\frac{x!}{3!(x-3)!}\le\frac{(x+2)!}{3!(x+2-3)!}\\ 5\frac{x!}{(x-3)!}\le\frac{(x+2)!}{(x-1)!}\end{array}$$

Riscriviamo i fattoriali al numeratore rispettivamente $x!=x(x-1)(x-2)(x-3)!$ e $(x+2)!=(x+2)(x+1)x(x-1)!$ e semplifichiamo l'espressione:

$$\begin{array}{l} 5\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}\le\frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{(x-1)!}\\ 5x(x-1)(x-2)\le (x+2)(x+1)x\\ 5x(x^2-3x+2)\le x(x^2+3x+2)\\ 5x(x^2-3x+2)-x(x^2+3x+2)\\ x(5x^2-15x+10-x^2-3x-2)\le 0\\ x(4x^2-18x+8)\le 0\end{array}$$

La precedente disequazione si risolve studiando il segno di $x$ e il segno di $4x^2-18x+8$:

$$\begin{array}{l} x\ge 0\\ 4x^2-18x+8\ge 0\end{array}$$

Risolviamo la seconda disequazione trovando le soluzioni dell'equazione associata:

$$x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{81-32}}{4}=\frac{9\pm 7}{4}\ \Rightarrow\ x_1=\frac{1}{2},\ x_2=4$$

La soluzione della disequazione è dunque $x\le\frac{1}{2}\ \vee\ x\ge 4$.

Rappresentiamo graficamente il prodotto dei segni tra le due disequazioni prendendo in considerazione solo gli intervalli con il segno meno:

prodotto dei segni in una disequazione con i coefficienti binomiali

Le soluzioni che vengono fuori sono $x\le 0\ \vee\ \frac{1}{2}\le x\le 4$. Poichè, per le condizioni di esistenza si ha $x\geq 3,\ x\in\mathbb{Z}$, le soluzioni accettabili sono

$$x=3\quad\mbox{e}\quad x=4$$

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