Equazioni esponenziali risolte

In questa pagina trovi tante equazioni esponenziali svolte. Prima di tutto però, se non hai ancora acquisito dimestichezza con gli esponenziali e con le proprietà delle potenze, ti consiglio di dargli una lettura (clicca nei link).

  1. $8^x\cdot\sqrt{2}=4^x$
  2. $\frac{2^x\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}}{8\cdot 2^{x+3}}=\sqrt[5]{4}\cdot\sqrt[3]{2}$
  3. $81\cdot 9^x=9^{15/x}$
  4. $\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}=1$
  5. $4^x+2^{x+1}-3=0$

In aggiunta, puoi esercitarti con le equazioni esponenziali da risolvere che trovi qui.

Equazione 1

$$8^x\cdot\sqrt{2}=4^x$$

Trasformiamo le potenze in modo che abbiano tutte la stessa base applicando opportunamente le proprietà delle potenze:

$8^x\cdot 2^{\frac{1}{2}}=4^x\quad\Rightarrow\quad (2^3)^x\cdot 2^{\frac{1}{2}}=(2^2)^x\quad\Rightarrow\quad 2^{3x+\frac{1}{2}}=2^{2x}\quad\Rightarrow\quad 2^{\frac{6x+1}{2}}=2^{2x}$

Essendo la base uguale, i due membri dell'equazione sono uguali se e solo se gli esponenti sono uguali.

$\frac{6x+1}{2}=2x\quad\Rightarrow\quad 6x+1=4x\quad\Rightarrow\quad 2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{2}$

Equazione 2

$$\frac{2^x\cdot 2^{x+1}\cdot 2^{x+2}}{8\cdot 2^{x+3}}=\sqrt[5]{4}\cdot\sqrt[3]{2}$$

Innanzitutto riscriviamo gli esponenziali $2^{x+1}$, $2^{x+2}$ e $2^{x+3}$ facendo apparire l'esponenziale comune $2^x$ e riscriviamo le radici presenti al secondo membro sotto forma di potenze con esponente frazionario: $$\begin{eqnarray} \frac{2^x\cdot 2\cdot 2^x\cdot 2^2\cdot 2^x}{2^3\cdot 2^3\cdot 2^x} &=& 4^{1/5}\cdot 2^{1/3} \frac{2^3\cdot 2^{3x}}{2^6\cdot 2^x} &=& 2^{2/5}\cdot 2^{1/3} \frac{2^{2x}}{2^3} &=& 2^{11/15}\end{eqnarray}$$

Ponendo $t=2^x$ si ottiene

$$\begin{eqnarray} \frac{t^2}{2^3}&=&2^{11/15}\\ t^2 &=& 2^{11/15}\cdot {2^3}\\ t^2 &=& 2^{\frac{11}{15}+3}\\ t^2 &=& 2^{\frac{56}{15}}\\ t &=& 2^{\frac{56}{30}}\\ t &=& 2^{\frac{28}{15}}\end{eqnarray}$$

Essendo $t=2^x$ dall'ultima equazione otteniamo $$2^x = 2^{\frac{28}{15}}$$ e quindi $x=\frac{28}{15}$.

Equazione 3

$$81\cdot 9^x=9^{\frac{15}{x}}$$

Essendoci un denominatore, le condizioni di esistenza sono $x\neq 0$. Dividiamo ambo i membri dell'equaione per 81 e riscriviamolo al secondo membro come $9^2$: $$9^x=\frac{9^{\frac{15}{x}}}{9^2}$$ ossia $$\begin{array}{l} 9^x=9^{\frac{15}{x}-2}\\ 9^x=9^{\frac{15-2x}{x}}\end{array}$$

L'ultima equazione esponenziale è un'uguaglianza tra 2 potenze che hanno la stessa base per cui è equivalente all'uguaglianza tra i loro esponenti: $$x=\frac{15-2x}{x}$$

Risolviamo la precedente equazione fratta calcolando l'm.c.m. in entrambi i membri: $$\begin{array}{l} \frac{x^2}{x}=\frac{15-2x}{x}\\ x^2=15-2x\\ x^2+2x-15\end{array}$$

Risolviamo l'equazione di secondo grado: $$x=\frac{-1\pm\sqrt{16}}{1}=-1\pm 4=\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} -5\ \\ \\ 3\end{array}$$

Le soluzioni sono dunque $x=3$ e $x=-5$ (accettabili perchè entrambe diverse da zero).

Equazione 4

$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}=1$$

Per le proprietà delle potenze si ha: $$\begin{array}{l} 2^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2^{x+1}}=2^0\\ 2^{\frac{1}{2}-x-1}=2^0\\ \frac{1}{2}-x-1=0\\ \frac{1-2x-2}{2}=0\\ 1-2x-2=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Equazione 5

$$4^x+2^{x+1}-3=0$$

Riscriviamo l'equazione trasformando gli esponenziali con la base comune $2$: $$2^{2x}+2\cdot 2^x-3=0$$

Se poniamo $t=2^x$, l'equazione diventa di secondo grado: $$t^2+2t-3$$ che se risolta come fatto nell'esercizio precedente, troviamo le soluzioni $t=-3$ e $t=1$, ossia $$2^x=-3\qquad 2^x=1$$

La prima è chiaramente impossibile perchè un'esponenziale non può mai essere uguale ad una quantità negativa, mentre la seconda ha come soluzione $x=0$ e quest'ultima è l'unica soluzione dell'equazione esponenziale di partenza.

Equazioni esponenziali da risolvere

  1. $125\cdot (5^2)^x=5^{\frac{12}{x}}$
  2. $\sqrt{7}\left(\frac{1}{7}\right)^{6x-1}=1$
  3. $\large{\frac{(3^{x+1})^{2x-1}27^{1-x}}{9^{2-x}}=1}$
  4. $12\left(\frac{4}{9}\right)-35\left(\frac{2}{3}\right)^x+18=0$
  5. $9^{x-1}-9^x+3^{2x+1} < 19\cdot 3^{4x-1}$

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