Equazioni numeriche fratte risolte

Risolviamo le seguenti equazioni numeriche fratte

  1. $\frac{2x-3}{2x+4}=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}$ (risoluzione)
  2. $\frac{2x}{x-3}-\frac{5}{x}=\frac{6x}{3x-9}+\frac{2}{3x}$ (risoluzione)
  3. $\frac{6x+3}{(x-2)^2}+\frac{20x-32}{4x}=6+\frac{1-x^2}{x(x-2)}$ (risoluzione)

Equazione 1

$$\frac{2x-3}{2x+4}=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}$$

Scomponiamo i denominatori in fattori primi:

$$\begin{array}{l} 2x+4=2(x+2)\\ x+2\\ x\end{array}$$

Riscriviamo l'equazione con i denominatori scomposti:

$$\frac{2x-3}{2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}$$

Scriviamo le condizioni di esistenza:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} x+2\neq 0, &\mbox{ossia} &x\neq -2\\ x\neq 0\end{cases}$$

Il m.c.m. tra i denominatori è $2x(x+2)$. Per eliminare i denominatori riduciamo le frazioni allo stesso denominatore e moltiplichiamo per il m.c.m.:

$$\cancel{2x(x+2)}\cdot\frac{x(2x-3)}{\cancel{2x(x+2)}}=\left(\frac{2\cdot x\cdot x}{\cancel{2x(x+2)}}-\frac{2(x+2)}{\cancel{2x(x+2)}}\right)\cdot \cancel{2x(x+2)}$$

Così, otteniamo:

$$\begin{eqnarray} \cancel{2x^2}-3x &=& \cancel{2x^2}-2x-4\\ -3x+2x &=& -4\\ -x &=& -4\\ x &=& 4\end{eqnarray}$$

$x=4$ è una soluzione accettabile poichè rispetta le C.E. ($x\neq -2\ \wedge\ x\neq 0$).


Equazione 2

$$\frac{2x}{x-3}-\frac{5}{x}=\frac{6x}{3x-9}+\frac{2}{3x}$$

Fattorizziamo i polinomi presenti al denominatore delle frazioni:

$$\begin{array}{l} x-3\\ x\\ 3x-9=3(x-3)\\ 3x\end{array}$$

Riscriviamo l'equazione con i denominatori scomposti:

$$\frac{2x}{x-3}-\frac{5}{x}=\frac{6x}{3(x-3)}+\frac{2}{3x}$$

Le condizioni di esistenza sono dunque:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} x-3\neq 0, &\mbox{ossia} &x\neq 3\\ x\neq 0\end{cases}$$

Il m.c.m. tra i denominatori è $3x(x-3)$. Per eliminare i denominatori riduciamo le frazioni allo stesso denominatore e moltiplichiamo per il m.c.m.:

$$\cancel{3x(x-3)}\cdot\left(\frac{3x\cdot 2x}{\cancel{3x(x-3)}}-\frac{3(x-3)\cdot 5}{\cancel{3x(x-3)}}\right) = \left(\frac{x\cdot 6x}{\cancel{3x(x-3)}}+\frac{2\cdot (x-3)}{\cancel{3x(x-3)}}\right)\cdot \cancel{3x(x-3)}$$

Risulta:

$$\begin{eqnarray} \cancel{6x^2}-15x+45 &=& \cancel{6x^2}+2x-6\\ -15x-2x &=& -6-45\\ -17x &=& -51\\ 17x &=& 51\\ x &=& \frac{51}{17}\\ x &=& 3\end{eqnarray}$$

Dalle C.E. ($x\neq 3\ \wedge\ x\neq 0$) si capisce che $x=3$ non è soluzione accettabile e deve pertanto essere scartata. Per tale motivo l'equazione è impossibile.


Equazione 3

$$\frac{6x+3}{(x-2)^2}+\frac{20x-32}{4x}=6+\frac{1-x^2}{x(x-2)}$$

I denominatori sono già scomposti in fattori primi:

$$\begin{array}{l} (x-2)^2\\ 4x\\ x(x-2)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} (x-2)^2\neq 0, &\mbox{ossia} &x\neq 2\\ x\neq 0\end{cases}$$

Essendo il m.c.m. tra i denominatori pari a $4x(x-2)^2$, si ha:

$$\begin{eqnarray} \cancel{4x(x-2)^2}\cdot\left(\frac{4x\cdot(6x+3)}{\cancel{4x(x-2)^2}}+\frac{(x-2)^2\cdot (20x-32)}{\cancel{4x(x-2)^2}}\right) &=& \left(\frac{4x(x-2)^2\cdot 6}{\cancel{4x(x-2)^2}}+\frac{4(x-2)\cdot(1-x^2)}{\cancel{4x(x-2)^2}}\right)\cdot \cancel{4x(x-2)^2}\\ 24x^2+12x+(x^2-4x+4)(20x-32) &=& 24x(x^2-4x+4)+(4x-8)(1-x^2)\\ 24x^2+12x+20x^3-32x^2-80x^2+128x+80x-128 &=& 24x^3-96x^2+96x+4x-4x^3-8+8x^2\\ \cancel{20x^3}\cancel{-88x^2}+220x-128 &=& \cancel{20x^3}\cancel{-88x^2}+100x-8\\ 220x-100x &=& -8+128\\ 120x &=& 120\\ x &=& 1\end{eqnarray}$$

$x=1$ è una soluzione accettabile considerando le C.E. ($x\neq 2\ \wedge\ x\neq 0$).

Equazioni fratte con coefficienti letterali solo al numeratore

Equazione 4

$$\frac{a+x}{x-2}+\frac{a-x}{x+2}=\frac{2ax+a}{x^2-4}$$

I denominatori scomposti in fattori sono: $$\begin{array}{l} x-2\\ x+2\\ x^2-4=(x-2)(x+2)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono: $$\mbox{C.E.: }x\neq 2\ \wedge\ x\neq -2$$ e il m.c.m. fra i denominatori è $(x-2)(x+2)$. Eliminiamo i denominatori trasformando le frazioni a denominatore comune e moltiplicando ambo i membri per il m.c.m (per approfondire clicca qui): $$\begin{eqnarray} (a+x)(x+2)+(a-x)(x-2) &=& 2ax+a\\ ax\cancel{+2a}\cancel{+x^2}+2x+ax\cancel{-2a}\cancel{-x^2}+2x &=& 2ax+a\\ \cancel{2ax}+4x &=& \cancel{2ax}+a\\ x &=& \frac{a}{4}\end{eqnarray}$$

La soluzione trovata è accettabile solo se sono verificate le condizioni $x\neq 2\ \wedge\ x\neq -2$; quindi dobbiamo risolvere le due seguenti disuguaglianze in $a$: $$\begin{array}{l} \frac{a}{4}\neq 2, &\mbox{ossia} & a\neq 8\\ \frac{a}{4}\neq -2, &\mbox{ossia} & a\neq -8\end{array}$$

Invece, se $a=2$ oppure $a=-2$ l'equazione è impossibile, perchè perdono significato alcuni suoi termini.


Equazione 5

$$\frac{2a}{x-4}+\frac{2b}{x+4}=\frac{16a}{x^2-16}$$

Scomponiamo i denominatori in fattori primi: $$\begin{array}{l} x-4\\ x+4\\ x^2-16=(x-4)(x+4)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono: $$\mbox{C.E.: }x\neq 4\ \wedge\ x\neq -4$$ e il m.c.m. fra i denominatori è $(x-4)(x+4)$. Eliminiamo i denominatori trasformando le frazioni a denominatore comune e moltiplicando ambo i membri per il m.c.m: $$\begin{eqnarray} 2a(x+4)+2b(x-4) &=& 16a\\ 2ax+8a+2bx-8b &=& 16a\\ (2a+2b)x &=& 16a-8a+8b\\ 2(a+b)x &=& 8(a+b)\\ (a+b)x &=& 4(a+b)\end{eqnarray}$$

CASO $a+b\neq 0$, ossia $a\neq -b$

Dividendo entrambi i membri per $a+b$ otteniamo: $$x=4$$

Ma questa deve essere scartata perchè viola le C.E. ($x\neq 4\ \wedge\ x\neq -4$). Quindi l'equazione è impossibile.

CASO $a+b=0$, ossia $a=-b$

Sostituendo $a$ con $-b$ otteniamo: $$0\cdot x=0$$ per cui l'equazione è indeterminata.


Equazione 6

$$\frac{a^2x+3}{x-3}-\frac{x^3+5a^2x^2}{(x-3)^3}=a^2-\frac{2a^2x+x^2}{(x-3)^2}$$

Le condizioni di esistenza sono banalmente: $$\mbox{C.E.: }x\neq 3$$ e il m.c.m. fra i denominatori è ovviamente $(x-3)^3$. Semplifichiamo l'equazione come fatto negli esercizi precedenti: $$\begin{eqnarray} (x-3)^2(a^2x+3)-(x^3+5a^2x^2) &=& (x-3)^3a^2-(x-3)(2a^2x+x^2)\\ (x^2-6x+9)(a^2x+3)\cancel{-x^3}-5a^2x^2 &=& (x^3-9x^2+9x-27)a^2-2a^2x^2\cancel{-x^3}+6a^2x+3x^2\\ \cancel{a^2x^3}\cancel{+3x^2}-6a^2x^2-18x\cancel{+9a^2x}+27-5a^2x^2 &=& \cancel{a^2x^3}-9a^2x^2\cancel{+9a^2x}-27a^2-2a^2x^2+6a^2x\cancel{+3x^2}\\ \cancel{-11a^2x^2}-18x+27 &=& \cancel{-11a^2x^2} -27a^2+6a^2x\\ -18x-6a^2x &=& -27a^2-27\\ -3(6+2a^2)x &=& -27(a^2+1)\\ (6+2a^2)x &=& 9(a^2+1)\end{eqnarray}$$

Osserviamo che $6+2a^2$ è sempre diverso da zero per qualsiasi valore della lettera $a$, dunque posso liberamente dividere per $6+2a^2$ senza fare la solita discussione dei casi: $$x=\frac{9(a^2+1)}{6+2a^2}$$

L'equazione è quindi determinata per ogni valore di $a$ se $x\neq 3$. Invece, se $x=3$ l'equazione è impossibile.

Equazioni fratte con coefficienti letterali anche al denominatore

Equazione 7

$$\frac{4x^2-ax+3a}{x^2-a^2}+\frac{a(2x+1)}{a-x}=\frac{x(1-2a)}{x+a}+3$$

Scomponiamo i denominatori:

$$\begin{array}{l} x^2-a^2=(x-a)(x+a)\\ a-x=-(x-a)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono:

$$\mbox{C.E.: }x\neq\pm a$$

Scriviamo l'equazione con i denominatori scomposti:

$$\frac{4x^2-ax+3a}{(x-a)(x+a)}-\frac{a(2x+1)}{x-a}=\frac{x(1-2a)}{x+a}+3$$

Il m.c.m. tra i denominatori è $(x-a)(x+a)$. Moltiplichiamo tutti i termini per il m.c.m., in modo da eliminare i denominatori:

$$\frac{4x^2-ax+3a}{\cancel{(x-a)(x+a)}}\cancel{(x-a)(x+a)}-\frac{a(2x+1)}{\cancel{x-a}}\cancel{x-a}=\frac{x-2ax}{\cancel{x+a}}\cancel{x+a}+3\cancel{(x-a)(x+a)}$$

Svolgiamo i calcoli:

$$\begin{eqnarray} 4x^2-ax+3a-(2ax+a)(x+a) &=& (x-2ax)(x-a)+3(x^2-a^2)\\ 4x^2\cancel{-ax}+3a-(2ax^2+2a^2x+ax+a^2) &=& x^2\cancel{-ax}-2ax^2+2a^2x+3x^2-3a^2\\ \cancel{4x^2}+3a\cancel{-2ax^2}-2a^2x-ax-a^2 &=& \cancel{4x^2}\cancel{-2ax^2}+2a^2x-3a^2\end{eqnarray}$$

Scriviamo l'equazione nella forma $ax=b$:

$$\begin{eqnarray} -2a^2x-ax-2a^2x &=& -3a^2-3a+a^2\\ -4a^2x-ax &=& -2a^2-3a\end{eqnarray}$$

Cambiamo segno ai termini, moltiplicando per $-1$:

$$\begin{eqnarray} 4a^2x+ax &=& 2a^2+3a\\ ax(4a+1) &=& a(2a+3)\end{eqnarray}$$

Tenendo anche conto delle C.E., se $a\neq 0$ e $4a+1\neq 0$, ossia $a\neq -\frac{1}{4}$, possiamo dividere i due membri per $a(4a+1)$ e ottenere la soluzione:

$$\begin{eqnarray} \frac{\cancel{a}x\cancel{(4a+1)}}{\cancel{a}\cancel{(4a+1)}} &=& \frac{\cancel{a}(2a+3)}{\cancel{a}(4a+1)}\\ x &=& \frac{2a+3}{4a+1}\end{eqnarray}$$

Se $a=0$, l'equazione si riduce a $0x=0$; quindi è indeterminata sotto la C.E. $x\neq 0$.

Se $a=-\frac{1}{4}$, otteniamo: $-\frac{1}{4}x(0)=-\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{4}+3\right)$, ossia $0x=-\frac{5}{8}$. L'equazione è impossibile.


Equazione 8

$$\frac{2}{2b-x}-1=\frac{bx}{2b-x}$$

Essendo i denominatori già scomposti, ricaviamo le condizioni di esistenza:

$$\mbox{C.E.: }2b-x\neq 0\ \Rightarrow\ x\neq 2b$$

e moltiplichiamo ambo i membri per il m.c.m. $2b-x$ per eliminare i denominatori:

$$2-(2b-x)=bx$$

Facendo i calcoli otteniamo:

$$\begin{eqnarray} 2-2b+x &=& bx\\ x-bx &=& 2b-2\\ (1-b)x &=& -2(1-b)\end{eqnarray}$$

Se $b\neq \pm 1$, possiamo dividere i due membri per $1-b$ ottenendo la soluzione:

$$x=-2$$

L'equazione, in questo caso è determinata se rispetta le C.E. $x\neq 2b$.

Se $b=1$ si ha: $0x=0$, ovvero è indeterminata sotto la C.E. $x\neq 2$.

Infine, se $b=-1$ l'equazione si riduce a $2x=-4$, ossia $x=-2$. Ma tale soluzione non è accettabile perchè per $b=-1$ le C.E. diventano $x\neq -2$. Quindi l'equazione è impossibile.


Equazione 9

$$\frac{1-2a}{x}+\frac{a-2}{x}=\frac{2(a+1)}{a-1}$$

Le condizioni di esistenza sono:

$$\mbox{C.E.: }x\neq 0\ \wedge\ a\neq 1$$

Il m.c.m fra i denominatori è $x(a-1)$. Moltiplichiamo l'equazione per tale m.c.m. per togliere i denominatori e svolgiamo i calcoli che vengono fuori:

$$\begin{eqnarray} (a-1)(1-2a)+(a-1)(a-2) &=& 2x(a+1)\\ \cancel{a}-2a^2-1\cancel{+2a}+a^2\cancel{-2a}\cancel{-a}+2 &=& 2ax+2x\\ -a^2+1 &=& (2a+2)x\\ (2a+2)x &=& 1-a^2\\ 2(a+1)x &=& -(a^2-1)\\ 2(a+1)x &=& -(a+1)(a-1)\end{eqnarray}$$

Se $a+1\neq 0$, ossia se $a\neq -1$ possiamo dividere i due membri per $2(a+1)$ ottenendo:

$$x=-\frac{a-1}{2}$$

che è la soluzione dell'equazione con la C.E. $a\neq 1$.

Se $a=-1$, sostituendo abbiamo: $0x=0$. L'equazione è indeterminata con la C.E. x\neq 0$.

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