Equazioni letterali risolte

Caso in cui il coefficiente di $x$ è un monomio

Risolvi e discuti, quando è necessario, le seguenti equazioni letterali intere

  1. $2a-3x=7a-5x$
  2. $abx=b$
  3. $(a-b+2)x+a^2=2x+b^2-bx$

Equazione 1

$$2a-3x=7a-5x$$

Svolgiamo i calcoli:

$$\begin{eqnarray} 2a-7a &=& -5x+3x\\ -5a &=& -2x\\ -2x &=& -5a\\ \frac{-2x}{-2} &=& \frac{-5a}{-2}\\ x &=& \frac{5a}{2}\end{eqnarray}$$

Questa equazione è stata risolta come una normale equazione numerica intera, senza dover discutere nessun caso poichè il coefficiente dell'incognita $x$ è un numero e non dipende dalla lettera $a$. Dunque, l'equazione è determinata per qualsiasi valore della lettera $a$.


Equazione 2

$$abx=b$$

Poichè il coefficiente di $x$ è $ab$, per dividere i due membri per $ab$ dobbiamo porre $ab\neq 0$. Bisogna discutere separatamente i due casi $ab\neq 0$ e $ab = 0$.

CASO $ab\neq 0$ ossia $a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$

Dividiamo per $ab$ entrambi i membri:

$$\begin{eqnarray} \frac{abx}{ab}&=& \frac{b}{ab}\\ x &=&\frac{1}{a}\end{eqnarray}$$

In questo caso l'equazione è determinata.

CASO $ab= 0$ ossia $a\neq 0\ \vee\ b\neq 0$

Possiamo distinguere 3 sottocasi:

  1. Se $a=0,\ b\neq 0$ l'equazione diventa $0=b$ che è impossibile dato che $b\neq 0$.
  2. Se $a\neq 0,\ b=0$ l'equazione diventa $0=0$ che è indeterminata e dunque ammette infinite soluzioni.
  3. Analogamente al caso 2 Se $a=0,\ b=0$ si ha $0=0$ e quindi indeterminata.

Equazione 3

$$(a-b+2)x+a^2=2x+b^2-bx$$

Portiamo a primo membro i termini con l'incognita $x$ e al secondo membro i termini noti e le lettere:

$$(a-b+2)x+ -2x+bx = b^2-a^2$$

Raggruppiamo per $x$ al primo membro e svolgiamo i calcoli:

$$\begin{eqnarray} (a\cancel{-b}\cancel{+2}\cancel{-2}\cancel{+b})x &=& b^2-a^2\\ ax &=& b^2-a^2\end{eqnarray}$$

Distiguiamo al solito i due casi $a\neq 0$ e $a=0$:

CASO $a\neq 0$

Dividendo ambo i membri per $a$ otteniamo:

$$\begin{eqnarray} \frac{ax}{a} &=& \frac{b^2-a^2}{a}\\ x &=& \frac{b^2-a^2}{a}\end{eqnarray}$$

L'equazione è determinata.

CASO $a=0$

Si possono distinguere 2 sottocasi:

  1. Se anche $b=0$ l'equazione diventa $0=0$, ovvero è indeterminata.
  2. Se, invece $b\neq 0$ l'equazione diventa $0=b^2$ che è chiaramente impossibile dato che $b\neq 0$.

Caso in cui il coefficiente di $x$ è un polinomio

Equazione 4

$$\frac{1}{2}a^2bx+abx-a^2=0$$

Raggruppiamo per $x$ al primo membro e portiamo i termini noti al secondo membro:

$$\left(\frac{1}{2}a^2b+ab\right)x=a^2$$

Studiamo così i due casi $\frac{1}{2}a^2b+ab\neq 0$ e $\frac{1}{2}a^2b+ab=0$:

CASO $\frac{1}{2}a^2b+ab\neq 0$

Troviamo i valori di $a$ e $b$ tali per cui $\frac{1}{2}a^2b+ab\neq 0$. Mettendo in evidenza $ab$ risulta:

$$ab\left(\frac{1}{2}a+1\right)\neq 0$$

che è verificata solo quando $a\neq 0,\ \wedge\ b\neq0$ e $\frac{1}{2}a+1\neq 0$ ossia $a\neq -2$. Dunque, per tali valori di $a$ e $b$, possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per $\frac{1}{2}a^2b+ab$ ottenendo:

$$\begin{eqnarray} \frac{\left(\frac{1}{2}a^2b+ab\right)x}{\frac{1}{2}a^2b+ab} &=& \frac{a^2}{\frac{1}{2}a^2b+ab}\\ x &=& \frac{a^{\cancel{2}}}{\cancel{a}\left(\frac{1}{2}ab+b\right)}\\ x &=& \frac{a}{\frac{1}{2}ab+b}\end{eqnarray}$$

CASO $\frac{1}{2}a^2b+ab=0$ ossia per $a=0\ \vee\ a=-2\ \vee\ b=0$

In questo caso l'equazione diventa $0=0$, cioè è indeterminata.


Equazione 5

$$k^2x-2kx-k=0$$

Raggruppiamo per $x$ e portiamo a secondo membro il termine noto:

$$\begin{eqnarray} (k^2-2k)x-k &=& 0\\ (k^2-2k)x &=& k & \quad\quad(1)\end{eqnarray}$$

Studiamo separatamente i casi $k^2-2k\neq 0$ e $k^2-2k=0$.

CASO $k^2-2k\neq 0\ \Leftrightarrow\ k(k-2)\neq 0\ \Leftrightarrow\ k\neq 0,\ \wedge k\neq 2$

Per tali valori di $k$ possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per $k^2-2k$:

$$\begin{eqnarray} \frac{(k^2-2k)x}{k^2-2k} &=& \frac{k}{k^2-2k}\\ x &=& \frac{\cancel{k}}{\cancel{k}(k-2)}\\ x &=& \frac{1}{k-2}\end{eqnarray}$$

L'equazione è determinata.

CASO $k^2-2k = 0\ \Leftrightarrow\ k=0\ \vee k=2$

Si hanno quindi i seguenti 2 sottocasi:

  1. Se $k=0$ l'equazione (1) diventa $0=0$ ed è quindi indeterminata.
  2. Se $k=2$ l'equazione (1) diventa $0=2$ che è impossibile.

Equazione 6

$$\frac{(a-x^2)}{6}+\frac{1}{3}ax-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}(a-1)(a+1)=\frac{5a^2+x^2}{6}-\left(1+\frac{1}{6}a\right)a-\frac{1}{3}ax+\frac{1}{6}$$

Moltiplichiamo i due membri per m.c.m.(6,3,2)=6 e svolgiamo i calcoli:

$$\begin{eqnarray} (a-x)^2+2ax-3x-(a^2-1) &=& 5a^2+x^2-6a-a^2-2ax+1\\ a^2\cancel{-2ax}\cancel{+x^2}+2ax-3x\cancel{-a^2}\cancel{+1} &=& 5a^2\cancel{+x^2}-6a\cancel{-a^2}\cancel{-2ax}\cancel{+1}\\ 2ax-3x &=& 4a^2-6a\end{eqnarray}$$

Mettiamo a fattor comune i termini che hanno l'incognita $x$:

$$(2a-3)x=4a^2-6a$$

CASO $2a-3\neq 0$, ossia $a\neq\frac{3}{2}$

Dividiamo i due membri per $2a-3$:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2a-3)x}{2a-3} &=& \frac{4a^2-6a}{2a-3}\\ x &=& \frac{2a\cancel{(2a-3)}}{\cancel{2a-3}}\\ x &=& 2a\end{eqnarray}$$

L'equazione è determinata.

CASO $2a-3=0$, ossia $a=\frac{3}{2}$

Sostituendo ad $a$ il valore $\frac{3}{2}$ risulta:

$$\begin{eqnarray} \left(2\cdot\frac{3}{2}-3\right)x &=& 4\cdot\frac{9}{4}-6\cdot\frac{3}{2}\\ 0\cdot x &=& 0\end{eqnarray}$$

L'equazione è indeterminata.

Caso in cui i denominatori sono monomi

Equazione 7

$$\frac{a^2+x}{a}+\frac{x(a+b)}{ab}-\frac{2}{b}(x-b^2)=\frac{a}{b}-\frac{b}{a}-\left(\frac{2x}{b}-a\right)+2b+\frac{x}{a}$$

I denominatori devono essere diversi da 0, ossia deve essere $a\neq 0,\ b\neq 0$ e $ab\neq 0$. Se $a\neq 0$ e $b\neq 0$, anche $ab\neq 0$, pertanto è sufficiente porre le seguenti condizioni di esistenza:

$$\mbox{C.E.: } a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$$

Svolgiamo i calcoli per eliminare le parentesi:

$$\frac{a^2+x}{a}+\frac{x(a+b)}{ab}\cancel{-\frac{2}{b}x}\cancel{+2b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\cancel{-\frac{2x}{b}}+a\cancel{+2b}+\frac{x}{a}$$

Moltiplichiamo per m.c.m.(a,b,ab)=ab, per eliminare i denominatori:

$$\begin{eqnarray} b(a^2+x)+x(a+b) &=& a^2-b^2+a^2b+bx\\ \cancel{a^2b}\cancel{+bx}+ax+bx &=& a^2-b^2\cancel{+a^2b}\cancel{+bx}\end{eqnarray}$$

Raccogliamo $x$ a fattor comune, per esprimere l'equazione nella forma $ax=b$:

$$(a+b)x=a^2-b^2$$

CASO $a+b\neq 0$, ossia $a\neq -b$

Dividiamo i due membri per $a+b$:

$$\begin{eqnarray} \frac{(a+b)x}{a+b} &=&\frac{a^2-b^2}{a+b}\\ x &=& \frac{\cancel{(a+b)}(a-b)}{\cancel{a+b}}\\ x &=& a-b\end{eqnarray}$$

Tenendo conto delle C.E. ($a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$), l'equazione è determinata e la soluzione è $x=a-b$.

CASO $a+b=0$, ossia $a=-b$

Sostituiamo ad $a$ l'espressione $-b$:

$$\begin{eqnarray} (-b+b)x &=& (-b)^2-b^2\\ 0\cdot x &=& 0\end{eqnarray}$$

L'equazione è indeterminata (anche in questo caso, $a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$).


Equazione 8

$$\frac{2x+4}{b}-\frac{2}{a}(1+3x)=\frac{3}{b}-\frac{9}{a}+\frac{2}{b}\left(\frac{2a-b}{a}\right)$$

Le condizioni di esistenza sono come prima

$$\mbox{C.E.: } a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$$

Moltiplichiamo per m.c.m.(a,b)=ab, per eliminare i denominatori:

$$\begin{eqnarray} 2ax+4a-2b(1+3x) &=& 3a-9b+2a\left(\frac{2a-b}{a}\right)\\ 2ax\cancel{+4a}\cancel{-2b} -6bx &=& 3a-9b\cancel{+4a}\cancel{-2b}\end{eqnarray}$$

Raccogliamo $x$ a fattor comune, per esprimere l'equazione nella forma $ax=b$:

$$(2a-6b)x = 3a-9b$$

CASO $2a-6b\neq 0$, ossia $a\neq 3b$

Dividiamo i due membri per $2a-6b$:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2a-6b)x}{2a-6b} &=&\frac{3a-9b}{2a-6b}\\ x &=& \frac{3\cancel{(a-3b)}}{2\cancel{(a-3b)}}\\ x &=& \frac{3}{2}\end{eqnarray}$$

Tenendo conto delle C.E. l'equazione è determinata.

CASO $2a-6b=0$, ossia $a=3b$

Sostituiamo ad $a$ l'espressione $3b$:

$$\begin{eqnarray} (2\cdot 3b-6b)x &=& 3\cdot 3b-9b\\ 0\cdot x &=& 0\end{eqnarray}$$

L'equazione è indeterminata.


Equazione 9

$$\frac{2-(x+a)}{a}+1= \frac{2}{a}-\frac{x}{b}-1$$

Le condizioni di esistenza sono

$$\mbox{C.E.: } a\neq 0\ \wedge\ b\neq 0$$

Moltiplichiamo per m.c.m.(a,b)=ab, per eliminare i denominatori:

$$\begin{eqnarray} 2b-b(x+a)+ab &=& 2b-ax-ab\\ \cancel{2b}-bx\cancel{-ab}\cancel{+ab} &=& \cancel{2b}-ax-ab\end{eqnarray}$$

Portiamo i termini con la $x$ a primo membro (mettendola a fattor comune) e i termini noti al secondo membro:

$$\begin{eqnarray} -bx+ax &=& -ab\\ (a-b)x &=& -ab\end{eqnarray}$$

CASO $a-b\neq 0$, cioè $a\neq b$

Dividendo ambo i membri per $a-b$ risulta:

$$\begin{eqnarray} \frac{(a-b)x}{a-b} &=& \frac{-ab}{a-b}\\ x &=& -\frac{ab}{a-b}\end{eqnarray}$$

Tenendo sempre conto delle C.E., in questo caso l'equazione è determinata.

CASO $a-b=0$, cioè $a=b$

Sostituendo ad $a$ l'espressione $b$ si ottiene:

$$\begin{eqnarray} (b-b)x &=& -b\cdot b\\ 0\cdot x &=& -b^2\end{eqnarray}$$

L'equazione è impossibile tenendo conto che $b\neq 0$ dalle condizioni di esistenza.

Caso in cui i denominatori sono polinomi

Equazione 10

$$\frac{2x(2a-5b)}{(a-b)(4b^2-a^2)}+\frac{6}{a^2-4b^2}+\frac{3}{(a-2b)(a-b)}=\frac{5x}{(b-a)(2b+a)}+\frac{2a(a^2+4)}{(a-b)(a^2-4b^2)}$$

Scomponiamo i denominatori in fattori primi:

$$\begin{array}{l} (a-b)(4b^2-a^2) = -(a-b)(a^2-4b^2)=-(a-b)(a-2b)(a+2b)\\ a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b)\\ (a-2b)(a-b)\\ (b-a)(2b+a)= -(a-b)(a+2b)\\ (a-b)(a^2-4b^2)=(a-b)(a-2b)(a+2b)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} a-b\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq b\\ a-2b\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq 2b\\ a+2b\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq -2b\end{cases}$$

Riscriviamo le frazioni con i denominatori scomposti, facendo attenzione ai cambiamenti di segno:

$$\begin{eqnarray} &-&\frac{2x(2a-5b)}{(a-b)(a-2b)(a+2b)}+\frac{6}{(a-2b)(a+2b)}+\frac{3}{(a-2b)(a-b)}=\\ &=&-\frac{5x}{(a-b)(a+2b)}+\frac{2a(a^2+4)}{(a-b)(a-2b)(a+2b)}\end{eqnarray}$$

Moltiplichiamo per il m.c.m. fra i denominatori, che è $(a-b)(a-2b)(a+2b)$, e semplifichiamo:

$$\begin{eqnarray} -2x(2a-5b)+6(a-b)+3(a+2b) &=& -5x(a-2b)+2a(a^2+4)\\ -4ax\cancel{+10bx}+6a\cancel{-6b}+3a\cancel{+6b} &=& -5ax\cancel{+10bx}+2a^3+8a\\ -4ax+5ax &=& 2a^3+8a-9a\\ ax &=& 2a^3-a\end{eqnarray}$$

CASO $a\neq 0$

Dividiamo per $a$:

$$x=\frac{2a^3-a}{a}=\frac{\cancel{a}(2a^2-1)}{\cancel{a}}=2a^2-1$$

L'equazione è determinata.

CASO $a=0$

Sostituiamo in $ax=2a^3-a$ il valore $0$ ad $a$:

$$0\cdot x=0$$

In quest'ultimo caso l'equazione è indeterminata.


Equazione 11

$$\frac{a-2x}{a-b}-\frac{x+b}{a+b}+\frac{x}{a-b}=\frac{x-a}{a^2-b^2}-1$$

Scomponiamo i denominatori in fattori primi:

$$\begin{array}{l} a-b\\ a+b\\ a-b\\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} a-b\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq b\\ a+b\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq -b\end{cases}$$

Riscriviamo le frazioni con i denominatori scomposti e moltiplichiamo per il m.c.m. fra i denominatori che è $(a-b)(a+b)$ semplificando il tutto:

$$\begin{eqnarray} \frac{a-2x}{a-b}-\frac{x+b}{a+b}+\frac{x}{a-b} &=& \frac{x-a}{(a-b)(a+b)}-1\\ (a-2x)(a+b)-(x+b)(a-b)+ax+bx &=& x-a-a^2+b^2\\ a^2\cancel{+ab}-2ax-2bx\cancel{-ax}+bx\cancel{-ab}\cancel{+b^2}\cancel{+ax}+bx &=& x-a-a^2\cancel{+b^2}\\ -2ax-x &=&-a-a^2-a^2\\ -(2a+1)x &=& -a-2a^2\\ (2a+1)x &=& 2a^2+a \end{eqnarray}$$

CASO $2a+1\neq 0$, ossia $a\neq -\frac{1}{2}$

Dividendo entrambi i membri per $2a+1$ risulta:

$$x=\frac{2a^2+a}{2a+1}=\frac{a\cancel{(2a+1)}}{\cancel{2a+1}}=a$$

L'equazione è determinata.

CASO $2a+1=0$, ossia $a=-\frac{1}{2}$

Sostituendo ad $a$ il valore $-\frac{1}{2}$ otteniamo:

$$\begin{eqnarray} 0\cdot x &=& 2\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\ 0\cdot x &=& 0\end{eqnarray}$$

L'equazione è indeterminata.


Equazione 12

$$\frac{x}{a}+\frac{2x}{2-a}=\frac{a-x+2}{2a-a^2}$$

I denominatori scomposti in fattori primi diventano:

$$\begin{array}{l} a\\ 2-a\\ 2a-a^2=a(2-a)\end{array}$$

Le condizioni di esistenza sono dunque:

$$\mbox{C.E.:}\begin{cases} a\neq 0\\ 2-a\neq 0, &\mbox{ossia} & a\neq 2\end{cases}$$

Riscriviamo l'equazione con i denominatori scomposti, moltiplichiamo per il loro m.c.m. che è $a(2-a)$ e semplifichiamo:

$$\begin{eqnarray} \frac{x}{a}+\frac{2x}{2-a} &=& \frac{a-x+2}{a(2-a)}\\ 2x-ax+2ax &=& a-x+2\\ 2x+ax+x &=& a+2\\ (3+a)x &=& a+2\end{eqnarray}$$

CASO $3+a\neq 0$, ossia $a\neq -3$

Dividiamo entrambi i membri per $3+a$:

$$x=\frac{a+2}{a+3}$$

L'equazione in questo caso è determinata.

CASO $3+a=0$, ossia $a=-3$

Sostituendo ad $a$ il valore $-3$ l'equazione diventa:

$$0\cdot x =-1$$

che chiaramente è impossibile.

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