Equazioni numeriche risolte

Esercizi sulla regola del trasporto e della cancellazione

Risolvi le seguenti equazioni specificando quando si utilizza la regola del trasporto e quella di cancellazione

  1. $3(2-x)+2+4x=1-[x-(2+x)-1]$
  2. $8x+20+(x-2)^3-x^2(x-6)=x-10+18(x+2)$
  3. $\frac{7}{3}[(1-x)(1+x)]+3x^2+2=\frac{2}{3}x(1+x)+\frac{1}{3}(x+4)$

Equazione 1

$$3(2-x)+2+4x=1-[x-(2+x)-1]$$

Esegiamo i calcoli indicati togliendo le parentesi tonde e poi le quadre:

$$\begin{eqnarray} 6-3x+2+4x &=&1-[\cancel{x}-2\cancel{-x}-1]\\ 8+x &=&1-[-3]\\ 8+x &=& 4\end{eqnarray}$$

Applichiamo la regola del trasporto spostando l'$8$ dal primo al secondo membro cambiandolo di segno:

$$x=4-8$$

Dunque, la soluzione è $x=-4$.


Equazione 2

$$8x+20+(x-2)^3-x^2(x-6)=x-10+18(x+2)$$

Sviluppiamo il cubo del binomio al primo membro e eseguiamo i prodotti presenti:

$$8x+20\cancel{+x^3}\cancel{-6x^2}+12x-8\cancel{-x^3}\cancel{+6x^2} = x-10+18x+36$$

Riduciamo i termini simili in entrambi i membri:

$$20x+12=19x+26$$

Trasportiamo i termini con la $x$ al primo membro e i termini noti al secondo cambiandoli di segno:

$$20x-19x=26-12$$

Sommando al primo e secondo membro otteniamo la soluzione $x=14$.


Equazione 3

$$\frac{7}{3}[(1-x)(1+x)]+3x^2+2=\frac{2}{3}x(1+x)+\frac{1}{3}(x+4)$$

Sviluppiamo la differenza di quadrati $(1-x)(1+x) e calcoliamo i prodotti presenti riducendo quando possibile:

$$\begin{eqnarray} \frac{7}{3}(1-x^2)+3x^2+2 &=& \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}\\ \frac{7}{3}-\frac{7}{3}x^2+3x^2+2 &=& \frac{2+1}{3}x+\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}\\ \frac{7+6}{3}+\frac{-7+9}{3}x^2 &=& x+\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}\\ \frac{13}{3}+\frac{2}{3}x^2 &=& x+\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}\end{eqnarray}$$

Applichiamo la regola di cancellazione semplificando in entrambi i membri il termine $\frac{2}{3}x^2$:

$$\frac{13}{3}\cancel{+\frac{2}{3}x^2} = x\cancel{+\frac{2}{3}x^2}+\frac{4}{3}$$

Quest'ultima equazione è equivalente a quella che si ottiene scambiando primo e secondo membro:

$$x+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$$

Trasportiamo a secondo membro il termine noto presente al primo membro per ricavarci la soluzione:

$$\begin{eqnarray} x &=& \frac{13}{3}-\frac{4}{3}\\ x &=& \frac{9}{3}\\ x &=& 3\end{eqnarray}$$

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Risolvi le seguenti equazioni specificando quali regole vengono applicate

  1. $5(1-x)+10(2-2x)=15-20x$
  2. $6(x+2)-12(1-x)=18(4-2x)+24$
  3. $12(x-3)-144(x+2)=36+48$

Equazione 4

$$5(1-x)+10(2-2x)=15-20x$$

Svolgiamo dapprima, i prodotti indicati:

$$5-5x+20\cancel{-20x}=15\cancel{-20x}$$

Abbiamo semplificato il termine $-20x$ in entrambi i membri per la regola di cancellazione. Riscriviamo l'equazione sommando i due termini noti al primo membro:

$$25-5x=15$$

Trasportiamo al secondo membro il termine noto $25$ e applichiamo il secondo principio di equivalenza dividendo ambo i membri per $-5$:

$$\begin{eqnarray} -5x&=&15-25\\ \frac{-5x}{-5}&=&\frac{-10}{-5}\\ x=2\end{eqnarray}$$


Equazione 5

$$6(x+2)-12(1-x)=18(4-2x)+24$$

Eseguiamo i prodotti indicati sommando i termini simili:

$$\begin{eqnarray} 6x\cancel{+12}\cancel{-12}+12x &=& 72-36x+24\\ 18x &=& -36x+96\end{eqnarray}$$

Trasportiamo al primo membro il termine $-36x$ e sommiamo:

$$\begin{eqnarray} 18x+36x &=& 96\\ 54x &=& 96\end{eqnarray}$$

Applchiamo il secondo principio di equivalenza dividendo ambo i membri per $54$:

$$\begin{eqnarray} \frac{54x}{54} &=& \frac{96}{54}\\ x &=& \frac{16}{9}\end{eqnarray}$$


Equazione 6

$$12(x-3)-144(x+2)=36+48$$

Al solito, iniziamo svolgendo i prodotti indicati e riducendo i termini simili in ambo i membri:

$$\begin{eqnarray} 12x-36-144x-288 &=& 84\\ -132x-324 &=& 84\end{eqnarray}$$

Trasportiamo al secondo membro il termine $-324$ e sommiamo:

$$\begin{eqnarray} -132x &=& 84+324\\ -132x &=& 408\end{eqnarray}$$

Applchiamo il secondo principio di equivalenza dividendo ambo i membri per $-132$:

$$\begin{eqnarray} \frac{-132x}{-132} &=& \frac{408}{-132}\\ x &=& \frac{34}{11} \end{eqnarray}$$

Esercizi sulle equazioni determinate, indeterminate e impossibili

Stabilire per ogni equazione se essa è determinata, e in tal caso scrivi la soluzione, oppure se è indeterminata o impossibile

  1. $8x=0$
  2. $2x-5=x+4+x$
  3. $-6x+7=7-6x$
  4. $(2x+3)^2-2x(x+3)=5x-2(1-x)x$
  5. $3\left(\frac{1}{2}x-1\right)-(1+x)+\frac{1}{3}\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}x+1$

Equazione 7

$$8x=0$$

Banalmente, dividendo ambo i membri per $8$ (per il secondo principio di equivalenza) si ottiene:

$$\begin{eqnarray} \frac{8x}{8} &=& \frac{0}{8}\\ x &=& 0\end{eqnarray}$$

Avendo trovato una sola soluzione, l'equazione è determinata.

Trucco per risolvere velocemente l'equazione $8x=0$ senza ricorrere al secondo principio di equivalenza

Osserviamo che possiamo leggere l'equazione ponendoci la domanda: "Quando $8x$ è uguale a $0$?". Avremo che la risposta sarà la soluzione dell'equazione. Detto ciò, piuttosto che applicare il secondo principio di equivalenza, per arrivare alla soluzione possiamo ragionare in questo modo: un numero diverso da $0$ moltiplicato per $x$ si annulla se e solo se $x$ si annulla: otteniamo cosi la soluzione $x=0$.


Equazione 8

$$2x-5=x+4+x$$

Riducendo i termini simili nel secondo membro si ha:

$$2x-5=2x+4$$

Per la regola di cancellazione il termine $2x$ va via in entrambi i membri:

$$\begin{eqnarray} \cancel{2x}-5 &=& \cancel{2x}+4\\ -5 &=& 4\end{eqnarray}$$

Essendo il primo membro e il secondo membro sempre diversi, l'equazione è impossibile.


Equazione 9

$$-6x+7=7-6x$$

Si può applicare immediantamente la regola di cancellazione semplificando i termini $-6x$ e $7$ sia a primo che a secondo membro:

$$\begin{eqnarray} \cancel{-6x}\cancel{+7} &=& \cancel{7}\cancel{-6x}\\ 0 &=& 0\end{eqnarray}$$

Abbiamo così ottenuto un'equazione che è sempre vera per ogni valore di $x$ (questo perchè $0=0$ non compare l'incognita $x$), per cui l'equazione ha infinite soluzione ed è quindi indeterminata.


Equazione 10

$$(2x+3)^2-2x(x+3)=5x-2(1-x)x$$

Sviluppiamo il quadrato di binomio al primo membro ed eseguiamo le moltiplicazioni indicate:

$$\begin{eqnarray} 4x^2+12x+9-2x^2-6x &=& 5x-2x+2x^2\\ 2x^2+6x+9 &=& 3x+2x^2\end{eqnarray}$$

Applichiamo la regola di cancellazione semplificando il termine $2x^2$ in entrambi i membri:

$$\begin{eqnarray} \cancel{2x^2}+6x+9 &=& 3x\cancel{2x^2}\\ 6x+9 &=& 3x\end{eqnarray}$$

Applicando la regola del trasporto e riducendo i termini simili otteniamo:

$$\begin{eqnarray} 6x-3x&=& -9\\ 3x&=& -9\end{eqnarray}$$

Per il secondo principio di equivalenza possiamo dividere entrambi i membri per $3$ in modo da trovare l'incognita $x$:

$$\begin{eqnarray} \frac{3x}{3} &=& \frac{-9}{3}\\ x &=& -3\end{eqnarray}$$

L'equazione è dunque determinata e la soluzione è $x=-3$.


Equazione 11

$$3\left(\frac{1}{2}x-1\right)-(1+x)+\frac{1}{3}\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}x+1$$

Eseguiamo i prodotti indicati togliendo le parentesi tonde:

$$\frac{3}{2}x-3-1-x+\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}x+1$$

Sbarazziamoci delle frazioni moltiplicando ambo i membri per il minimo comune multiplo tra i denominatori, ovvero $6$ (questo è possibile per il secondo principio di equivalenza):

$$9x-18-6-6x+4x+1=3x+6$$

Sommiamo i termini simili al primo membro:

$$7x-23=3x+6$$

Trasportiamo a primo membro i termini con l'incognita $x$ e a secondo membro i termini noti per poi sommarli tra loro:

$$\begin{eqnarray} 7x-3x &=& 6+23\\ 4x &=& 29\end{eqnarray}$$

Per il secondo principio di equivalenza, dividiamo ambo i membri per $4$ ottenendo cosi la soluzione:

$$x=\frac{29}{4}$$

L'equazione, pertanto, è determinata.

Esercizi avanzati sulle equazioni numeriche

Risolviamo le equazioni proposte tenendo conto di quanto fatto nei precedenti esercizi.

Equazione 12

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{3}\left[x-\frac{1}{4}(3-x)\right]+\frac{1}{4}(1-x)+\frac{1}{6} &=& \frac{1}{12}(1+6x)+\frac{1}{4}-\frac{5}{12}\\ \frac{2}{3}\left[x-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}x\right]+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6} &=& \frac{1}{12}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{5}{12}\\ \frac{2}{3}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x\cancel{+\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}&=& \frac{1}{12}+\frac{1}{2}x\cancel{+\frac{1}{4}}-\frac{5}{12}\\ 12\cdot\left(\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}\right)&=& \left(\frac{1}{12}+\frac{1}{2}x-\frac{5}{12}\right)\cdot 12\\ 8x-6+2x-3x+2 &=& 1+6x-5\\ 7x\cancel{-4} &=& 6x\cancel{-4}\\ 7x-6x &=& 0\\ x &=& 0 \end{eqnarray}$$


Equazione 13

$$\begin{eqnarray} \frac{(x+5)(x-5)}{9}-\frac{3x-2}{5} &=& \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{2-5x}{5}-\frac{1}{9}\\ \frac{x^2-25}{9}-\frac{3x-2}{5} &=& \frac{x^2-4x+4}{9}-\frac{2-5x}{5}-\frac{1}{9}\\ 45\cdot\left(\frac{x^2-25}{9}-\frac{3x-2}{5}\right) &=&\left(\frac{x^2-4x+4}{9}-\frac{2-5x}{5}-\frac{1}{9}\right)\cdot 45\\ \cancel{5x^2}-125-27x+18 &=& \cancel{5x^2}-20x+20-18+45x-5\\ -27x-107 &=& 25x-3\\ -27x-25x &=& -3+107\\ -52x &=& 104\\ \frac{-52x}{-52} &=& \frac{104}{-52}\\ x &=& -2 \end{eqnarray}$$


Equazione 14

$$\begin{eqnarray} \frac{x+1}{3}-\frac{2(x-1)}{5}+\frac{2}{3} &=& \frac{x-4}{5}-\frac{4}{15}x\\ \frac{x+1}{3}-\frac{2x-2}{5}+\frac{2}{3} &=& \frac{x-4}{5}-\frac{4}{15}x\\ 15\cdot\left(\frac{x+1}{3}-\frac{2x-2}{5}+\frac{2}{3}\right) &=& \left(\frac{x-4}{5}-\frac{4}{15}x\right)\cdot 15\\ 5x+5-6x+6+10 &=& 3x-12 -4x\\ \cancel{-x}+21 &=&\cancel{-x}-12\\ 21 &=& -12 \end{eqnarray}$$

Quest'ultima è impossibile

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