Problemi geometrici sulle equazioni di secondo grado

Di seguito i problemi risolti. Per visualizzare la soluzione clicca sul testo.

  1. In un triangolo rettangolo, delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, la maggiore è pari al doppio della minore diminuito di 4 cm, mentre l'altezza relativa all'ipotenusa supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni. Determina l'area del triangolo

Problema 1

Intanto disegnamo il triangolo rettangolo tracciando le proiezioni sull'ipotenusa indicati con i segmenti $HB$ (la proiezione maggiore) e $HC$ (la proiezione minore).

Proiezioni dei cateti sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo

Traduciamo adesso i dati del testo: la frase "la maggiore proiezione è pari al doppio della minore diminuito di 4" si traduce con l'equazione $$HB=2HC-4\qquad (\bigstar)$$ mentre la frase "l'altezza relativa all'ipotenusa supera di 10 cm la differenza delle due proiezioni" si traduce in $$AH=HB-HC+10\qquad (\bigstar\bigstar)$$

Per il secondo Teorema di Euclide, il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti su di essa, ossia: $$AH^2=HB\cdot HC\qquad (\bigstar\bigstar\bigstar)$$

Sostituendo il valore di $HB$ nelle $(\bigstar\bigstar)$ e $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ si ha: $$\begin{cases} AH=2HC-4-HC+10\\ AH^2=(2HC-4)\cdot HC\end{cases}$$ ossia $$\begin{cases} AH=HC+6\qquad (\blacksquare)\\ AH^2=2HC^2-4HC\qquad (\blacksquare\blacksquare)\end{cases}$$

Sostituiamo la $(\blacksquare)$ nella $(\blacksquare\blacksquare)$: $$\begin{array}{l} (HC+6)^2=2HC^2-4HC\\ HC^2+12HC+36=2HC^2-4HC\\ -HC^2+16HC+36=0\\ HC^2-16HC-36=0\end{array}$$

Risolviamo quest'ultima equazione di secondo grado con la formula del delta: $$HC=\frac{16\pm\sqrt{16^2+4\cdot 36}}{2}=\frac{16\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{16\pm 20}{2}\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} 18\ \\ \\ -2\end{array}$$

Trascurando la soluzione $-2$ (che essendo negativa non può essere la misura di una lunghezza), abbiamo trovato che $HC=18cm$. Sostituendo tale valore nella $(\bigstar)$ e nella $(\blacksquare)$ troviamo rispettivamente i valori $$\begin{array}{l} HB=2\cdot 18-4=32cm\\ AH=18+6=24cm\end{array}$$

In definitiva, l'area del triangolo si calcola dividendo per 2 il prodotto tra la base $BC=HB+HC$ e la sua altezza $AH$: $$A=\frac{(HB+HC)\cdot AH}{2}=\frac{(32+18)\cdot 24}{2}=600cm^2$$

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