Calcolo rette tangenti ad una circonferenza passanti per un punto esterno ad essa

Data la circonferenza $C_1:x^2+y^2-10x-12y+52=0$, determina l'equazione della circonferenza $C_2$ concentrica alla $C_1$ e di raggio di misura $5$. Dei due punti della circonferenza $C_2$ di ascissa 5 sia $A$ il punto di ordinata maggiore. Trovare le equazioni delle rette tangenti a $C_1$ uscenti da $A$ e l'ampiezza dell'angolo da esse formato.

Svolgimento

Essendo $a=-10, b=-12$ e $c=52$ il centro e il raggio di $C_1$ sono determinabili come segue: $$\begin{array}{l} O_1=O_2=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)=(5;6)\\ r_1=\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2+\left(-\frac{b}{2}\right)^2-c}=\sqrt{5^2+6^2-52}=3\end{array}$$

Notare che i centri delle due circonferenze coincidono essendo concentriche.

Avendo sia il centro $O_2(%;6)$ che il raggio $r_2=5$, l'equazione di $C_2$ in forma standard è: $$C_2:(x-5)^2+(y-6)^2=25$$ la quale può essere espressa anche in forma canonica sviluppando i calcoli presenti: $$\begin{array}{l} x^2-10x+25+y^2-12y+36-25=0\\ C_2: x^2+y^2-10x-12y+11=0\end{array}$$

Inoltre, il punto $A$ suddetto è il punto di coordinate $(5;11)$

La situazione grafica è la seguente:

Esercizio sulla circonferenza e sulle rette tangenti

Determiniamo, adesso, le rette tangenti a $C_1$ passanti per il punto $A$. A tal proposito, scriviamo il fascio di rette passanti per il punto $A(5;11)$ esplicitando la $y$: $$\begin{array}{l} y-11=m(x-5)\\ y=mx-5m+11\end{array}$$

Sostituendo tale espressione di $y$ nell'equazione di $C_1$ e semplificando otteniamo: $$\begin{array}{l} x^2+(mx-5m+11)^2-10x-12(mx-5m+11)+52=0\\ (1+m^2)x^2+(-10m^2+10m-10)x+25m^2-50m+41=0\end{array}$$

Affinchè la retta e la circonferenza siano tangenti, quest'ultima equazione dovrà dare due soluzioni reali e coincidenti; dovrà quindi essere nullo il suo discriminante, cioè dovrà essere: $$\Delta=(-10m^2+10m-10)^2-4(1+m^2)(25m^2-50m+41)=0$$ ossia $$36m^2-34=0$$ la quale ha soluzioni $m=\pm\frac{4}{3}$

Le equazioni delle due tangenti sono dunque: $$\begin{eqnarray} y &=&\frac{4}{3}x-5\cdot\frac{4}{3}+11\\ y &=&-\frac{4}{3}x+5\cdot\frac{4}{3}+11\end{eqnarray}$$ ovvero $$\begin{eqnarray} y &=&\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}\\ y &=&-\frac{4}{3}x+\frac{53}{3}\end{eqnarray}$$

Infine, l'angolo compreso tra le due rette si calcola ricordando la formula $$\alpha=\arctan\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)=\arctan\left(\frac{4/3+4/3}{1+(4/3)(4/3)}\right)=\arctan\left(\frac{24}{7}\right)$$

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