Calcolo rette tangenti alla funzione omografica

Sia data la seguente funzione omografica

$$y=\frac{2x-5}{2x+6}$$

che sappiamo essere un'iperbole equilatera visto che $c\neq 0$ e $ad\neq bc$.

Ci poniamo il problema di calcolare le rette tangenti all'iperbole passanti per il punto $P\left(0,\ -\frac{5}{6}\right)$.

Per far ciò, scriviamo il fascio generico di rette passanti per tale punto:

$$y+\frac{5}{6}=m(x-0)\quad\quad\Rightarrow y+\frac{5}{6}=mx$$

Per trovare $m$ dobbiamo mettere a sistema il fascio di rette appena trovato con l'equazione dell'iperbole:

$$\left\{\begin{array}{l} y+\frac{5}{6}=mx\\ y=\frac{2x-5}{2x+6}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y=mx-\frac{5}{6}\\ mx-\frac{5}{6}=\frac{2x-5}{2x+6}\end{array}\right. $$

Risolviamo la seconda equazione del sistema raggruppando opportunamente i termini:

$mx-\frac{5}{6}=\frac{2x-5}{2x+6}\quad\Rightarrow\quad 2x-5=\left(mx-\frac{5}{6}\right)(2x+6)\quad\Rightarrow\quad 2x-5=2mx^2+6mx-\frac{5}{3}x-5\quad\Rightarrow$
$2mx^2+\left(6m-\frac{5}{3}-2\right)x=0\quad\Rightarrow\quad 2mx^2+\left(6m-\frac{11}{3}\right)x=0$

Moltiplichiamo per $3$ per togliere la frazione presente:

$6mx^2+(18m-11)x=0$

Adesso, per imporre la condizione di tangenza all'iperbole, poniamo il delta di quest'ultima equazione in $x$ uguale a $0$:

$$\Delta=(18m-11)^2=324m^2-396m+121=0\quad\Rightarrow\quad m=\frac{198\pm\sqrt{39204-39204}}{324}=\frac{198}{324}=\frac{11}{18}$$

Trovato $m$, andiamolo a sostituire nella prima equazione del sistema sopra imposto trovando cosi la retta tangente all'iperbole richiesta:

$$y=\frac{11}{18}x-\frac{5}{6}$$

Ampliamo l'esercizio trovando l'area del triangolo formato dagli asintoti dell'iperbole e dalla retta tangente appena trovata.

Per prima cosa, troviamo le equazioni degli asintoti:

$$x=-\frac{d}{c}=-\frac{6}{2}=-3\quad\quad y=\frac{a}{c}=\frac{2}{2}=1$$

La situazione grafica è la seguente:

esercizio funzione omografica

Troviamo le coordinate del punto $A$ intersezione tra l'asintoto verticale $x=-3$ e la retta tangente alla parabola $y=\frac{11}{18}x-\frac{5}{6}$:

$$\left\{\begin{array}{l} x=-3\\ y=\frac{11}{18}x-\frac{5}{6}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=-3\\ y=-\frac{33}{18}-\frac{5}{6}=-\frac{48}{18}=-\frac{8}{3}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad A\left(-3,-\frac{8}{3}\right)$$

Le coordinate del punto $B$ sono date dall'intersezione tra l'asintoto orizzontale $y=1$ e la retta tangente:

$$\left\{\begin{array}{l} y=1\\ y=\frac{11}{18}x-\frac{5}{6}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y=1\\ 1=-\frac{11}{18}x-\frac{5}{6}\end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y=1\\ 11x=33\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l} y=1\\ x=3\end{array}\right.\quad B\left(3,1\right)$$

Le coordinate del punto $C$ sono banalmente $(-3,1)$

Possiamo finalmente calcolare l'area del triangolo in verde osservando che:

$$\mbox{base}=\overline{CB}=3+3=6,\quad\quad \mbox{altezza}=\overline{AC}=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}$$

Si ha quindi:

$$A=\frac{\overline{CB}*\overline{AC}}{2}=\frac{6*\frac{11}{3}}{2}=11$$

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