Solido generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo

Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto a una circonferenza di centro O e raggio $4a$. Il perimetro del trapezio è $36a$. Detto CB il lato obliquo, dimostrare che il triangolo OCB è rettangolo. Determinare le misure dei lati del trapezio, il volume e l'area del solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla retta passante per B, perpendicolare alla base maggiore AB.

trapezio rettangolo circoscritto

Per la proprietà delle tangenti, i triangoli KOD e COT sono congruenti e così gli angoli $KCO=OCT=\alpha$; analogamente sono congruenti i triangoli OBT e OHB e di conseguenza gli angoli $OBT=HBO=\beta$. Poiché $2\alpha +2\beta=\pi$, si ha che $\alpha +\beta =\frac{\pi}{2}$ e quindi l’angolo $COB$ vale $\frac{\pi}{2}$; dunque il triangolo OCB è rettangolo.

Per determinare le misure dei lati del trapezio, ricordiamo che un trapezio circoscritto ad una circonferenza ha la somma dei lati opposti uguali. Cioè, nel nostro caso:

$$AD+CB=AB+DC$$

E quindi, sapendo che $AD=2\cdot OS=8a$, la somma dei due lati opposti $AD$ e $CB$ equivale a metà perimetro:

$$AD+CB=\frac{P}{2}\quad\Rightarrow\quad CB=\frac{P}{2}-AD=\frac{36a}{2}-8a=6a$$

Troviamo la lunghezza del segmento $GB$ applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $CGB$:

$$GB=\sqrt{CB^2-CG^2}=\sqrt{100a^2-64a^2}=6a$$

Inoltre, dato che

$$DC+AB=DC+AG+GB=2\cdot DC+GB$$

si ha:

$$2\cdot DC+GB=\frac{P}{2}\quad\Rightarrow\quad DC=\frac{P}{4}-\frac{GB}{2}=9a-3a=6a$$

La base maggiore del trapezio risulta così calcolata:

$$AB=AG+GB=DC+GB=6a+6a=12a$$

Per rispondere alla seconda parte dell'esercizio, osserviamo che tramite la rotazione completa del trapezio attorno alla retta passante per B ottengo un cilindro di raggio $AD=8a$ e altezza $AG=6a$ con un cono alla base di altezza $GB=6a$ come mostra l'immagine qui di seguito.

Rotazione attorno ad un punto di un trapezio rettangolo

La superficie totale del solido di rotazione è data dalla somma delle seguenti superfici:

$$S_{bCilindro}=\pi AD^2=64\pi a^2$$ $$S_{lCilindro}=2\pi\cdot AD\cdot AG=2\pi\cdot 8a\cdot 6a=96\pi a^2$$ $$S_{lCono}=\pi\cdot AD\cdot CB=\pi\cdot 8a\cdot 10a=80\pi a^2$$

ossia,

$$S_{tot}=64\pi a^2+96\pi a^2+80\pi a^2=240\pi a^2$$

Infine, il volume del solido di rotazione è dato dalla somma dei volumi del cilindro e del cono:

$$V_{Cilindro}=\pi\cdot AD^2\cdot AG=\pi\cdot 64 a^2\cdot 6a=384\pi a^3$$ $$V_{Cono}=\frac{\pi\cdot AD^2\cdot GB}{3}=\frac{\pi\cdot 64a^2\cdot 6a}{3}=128\pi a^3$$

ossia,

$$V_{tot}=384\pi a^3+128\pi a^3=512\pi a^3$$

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