Calcolo del centro di simmetria di una curva

Individua il centro di simmetria della curva di equazione $xy-2x+y+1$.

Il centro di simmetria $C(x_M,y_M)$, deve soddisfare le equazioni cartesiane di una simmetria centrale:

$$\begin{cases} x'=2x_M-x\\ y'=2y_M-y\end{cases}$$

che possono essere riscrette per comodità nel seguente modo:

$$\begin{cases} x=2x_M-x'\\ y=2y_M-y'\end{cases}$$

dove $(x',y')$ sono coordinate di punti appartenenti alla curva data.

Sostituendo le espressioni di $x$ e $y$ alla curva data otteniamo:

$$(2x_M-x')(2y_M-y')-2(2x_M-x')+2y_M-y'+1=0$$

e sopprimendo gli apici

$$(2x_M-x)(2y_M-y)-2(2x_M-x)+2y_M-y+1=0$$

Svolgiamo i calcoli e raggruppiamo i termini con parte letterale $xy$, $x$, $y$ e i termini noti:

$$\begin{array}{l} 4x_My_M-2x_My-2xy_M+xy-4x_M+2x+2y_M-y+1=0\\ xy+(-2y_M+2)x+(-2x_M-1)y+4x_My_M-4x_M+2y_M+1=0\end{array}$$

Dovendo la curva originale e quella trasformata coincidere, deve essere:

$$\begin{cases} -2y_M+2=-2\\ -2x_M-1=1\\ 4x_My_M-4x_M+2y_M+1=1\end{cases}$$

che ha soluzioni $(x_M,y_M)=(-1,2)$.

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