Equazione della rotazione di centro O e angolo arctan(3/4)

Determinare le equazioni della rotazione di centro l'origine e angolo $\alpha=\arctan\frac{3}{4}$.

Ricordiamo che le equazioni di una rotazione di centro l'origine e angolo $\alpha$ sono:

$$\begin{cases} x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}$$

Dal fatto che $\alpha=\arctan\frac{3}{4}$ segue che $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$.

Troviamo il valore di $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ elevando al quadrato entrambi i membri dell'ultima espressione appena scritta:

$$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{9}{16}$$

Dalla formula fondamentale della trigonometria sappiamo che $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ e andando a sostituire nell'equazione precedente si ha:

$$\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}=\frac{9}{16}$$

Risolviamo l'equazione ottenuta nell'incognita $\sin^2\alpha$:

$$\begin{array}{l} &\sin^2\alpha=\frac{9}{16}(1-\sin^2\alpha)\\ &\sin^2\alpha+\frac{9}{16}\sin^2\alpha-\frac{9}{16}=0\\ &\frac{25}{16}\sin^2\alpha-\frac{9}{16}=0\\ &25\sin^2\alpha-9=0\\ &\sin\alpha=\frac{3}{5}\end{array}$$

Banalmente si ha anche:

$$\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

da cui $\cos\alpha=\frac{4}{5}$.

Possiamo concludere scrivendo le equazioni delle trasformazione richiesta:

$$\begin{cases} x'=\frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y\\ y'=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y\end{cases}$$

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