Esercizio sull'affinità inversa e calcolo dei suoi punti uniti

Date le equazioni $$\begin{cases} x'=x+y-1\\ y'=2x-y+1\end{cases}$$

  1. verifica che definiscono un'affinità;
  2. stabilisci se si tratta di affinità diretta o inversa;
  3. determina i punti A', B' e C' corrispondenti rispettivamente di $A(-1,2)$, $B(2,0)$ e $C(1,-2)$ nell'affinità;
  4. determina i punti uniti;
  5. verifica che l'affinità non è un'isometria
  6. .

Rispondiamo al punto 1: per verificare che le equazioni date definiscono un'affinità, basta calcolare il determinate $D$ della matrice dei coefficienti di $x$ e $y$ che compaiono nelle equazioni, ovvero:

$$D=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-2\cdot 1=-3\neq 0$$

Poichè $D\neq 0$ si tratta di un'affinità.

Punto 2: si tratta di un'affinità inversa dato che il determinante è negativo ($D=-3 < 0$).

Punto 3: calcoliamo i corrispondenti punti A', B' e C' sostituendo le coordinate (x,y) dei punti A, B e C nelle equazioni date:

$$A':\begin{cases} x'=-1+2-1=0\\ y'=-2-2+1=-3\end{cases}\ \Rightarrow\ A'(0,-3)$$ $$B':\begin{cases} x'=2+0-1=1\\ y'=4-0+1=5\end{cases}\ \Rightarrow\ B'(1,5)$$ $$C':\begin{cases} x'=1-2-1=-2\\ y'=2+2+1=5\end{cases}\ \Rightarrow\ C'(-2,5)$$

Punto 4: i punti uniti si determinano sostituendo $(x',y')\rightarrow (x,y)$ nelle equazioni date e risolvendo il sistema così ottenuto. Dunque:

$$\begin{cases} x=x+y-1\\ y=2x-y+1\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} y=1\\ x=\frac{1}{2}\end{cases}$$

L'unico punto unito è $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.

Punto 5: Come visto qui, una affinitià è un'isometria se il determinante $D=\pm 1$. Visto che $D=-3\neq\pm 1$ possiamo concludere dicendo che l'affinità non è una isometria.

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