Punti corrispondenti tramite omotetia e triangoli omotetici

Dati i punti $A(1,2)$, $B(-3,0)$ e $C(-1,-3)$ determina i corrispondenti di $A$, $B$ e $C$ nella omotetia di equazioni: $$\begin{cases} x'=2x\\ y'=2y\end{cases}$$ e trova il rapporto tra i perimetri dei due triangoli omotetici. Che cosa si osserva?.

Chiamiamo i punti da trovare A', B' e C' e determiniamo le loro coordinate $(x',y')$ andando a sostituire le coordinate $(x,y)$ di A, B e C nelle equazioni della omotetia:

$$A'\begin{cases} x'=2\cdot 1 =2\\ y'=2\cdot 2=4\end{cases}\quad\Rightarrow\quad A'(2,4)$$ $$B'\begin{cases} x'=2\cdot (-3) =-6\\ y'=2\cdot 0=0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad B'(-6,0)$$ $$A'\begin{cases} x'=2\cdot (-1) =-2\\ y'=2\cdot (-3)=-6\end{cases}\quad\Rightarrow\quad C'(-2,-6)$$

Dalla 1° proprietà delle omotetie, il rapporto tra due segmenti omotetici vale $k=2$; ne segue che anche il rapporto tra i perimetri dei due triangoli omotetici è pari al rapporto di omotetia $k=2$.

Da queste considerazione emerge che i due triangoli omotetici sono triangoli simili.

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