Simmetria assiale e calcolo dell'asse di simmetria

Riconosci che la seguente affinità è un'isometria e classificala: $$\begin{cases} x'=\frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{5}}{3}y\\ y'=-\frac{\sqrt{5}}{3}x+\frac{2}{3}y\end{cases}$$

Si vede subito che le equazioni date esprimono una similitudine diretta con $D>0$. Infatti le equazioni sono del tipo

$$\begin{cases} x'=a_1x+b_1y+c_1\\ y'=-b_1x+a_1y+c_2\end{cases}$$

e $$D=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$$.

Inoltre, poichè $D=1$, si tratta di un isometria. In particolare si ha una simmetria assiale con asse di simmetria passante per l'origine del tipo $y=mx$.

Dalle equazioni della simmetria assiale, possiamo ricavarci il valore di $m$ risolvendo il seguente sistema:

$$\begin{cases} \frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{2}{3}\\ \frac{2m}{1+m^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{cases}$$

Dalla prima equazione risulta $m=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$, mentre dalla seconda viene fuori $m=\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $m=\sqrt{5}$. Dunque il valore a comune da considerare è $m=\frac{\sqrt{5}}{5}$. L'asse di simmetria è dunque:

$$y=\frac{\sqrt{5}}{5}x$$

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