Verificare se le equazioni rappresentano una trasformazione geometrica

Date le seguenti equazioni cartesiane, verificare se esse rappresentano delle trasformazioni geometriche e motivarne la risposta:

$$(1)\begin{cases} x'=2x-y+1\\ y'=4x+2y-1\end{cases}\quad (2)\begin{cases} x'=2x+y\\ y'=4x+2y-3\end{cases}$$

Ricordiamo che una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano un punto stesso del piano.

Dunque, per verificare che (1) e (2) siano delle trasformazioni geometriche, dobbiamo riscrivere i sistemi cercando di ricavarci $x$ e $y$, ovvero, effettuiamo la trasformazione inversa.

Esplicitando $x$ e $y$ dalla (1) otteniamo le seguenti equazioni: $$\begin{cases} x=\frac{1}{4}x'+\frac{1}{8}y'-\frac{1}{8}\\ y=-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{4}y'+\frac{3}{4}\end{cases}$$

Dunque la (1) definisce una trasformazione geometrica.

Dalla (2) invece, otteniamo:

$$\begin{cases} 0=x'-\frac{1}{2}y'-\frac{3}{2}\\ x=\frac{1}{4}y'-\frac{1}{2}y+3\end{cases}$$

le quali non definiscono in modo univoco le coordinate $x$ e $y$, per cui la (2) non è una trasformazione geometrica.

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