Esercizi svolti con il criterio di condensazione

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$$

La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è banalmente soddisfatta:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}=0$$

Per determinare il carattere della serie data, è necessario usare il criterio di condensazione di Cauchy. Per poterlo applicare, verifichiamo che il termine generale della serie sia non crescente, ovvero:

$$a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb N\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}\le\frac{1}{n\ln^2n}\quad\forall n\in\mathbb N$$

Banalmente vera per ogni n naturale.

Possiamo studiare il carattere della serie $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}$, ossia:

$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^n\frac{1}{2^n\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2\ln^2 2}=\frac{1}{\ln^22}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$

Poichè quest'ultima serie è la serie armonica con esponente 2 che è convergente, per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie di partenza converge.

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