Esercizi svolti con il criterio della radice

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}2^{\sqrt{n}-n}$$

La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è verificata:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}2^{\sqrt{n}-n}=2^{-\infty}=\frac{1}{2^{+\infty}}=0$$

Per determinare il carattere della serie, vista la presenza di potenze ennesime, conviene usare il criterio della radice:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{2^{\sqrt{n}-n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{2^{\sqrt{n}}}{2^n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{\frac{\sqrt{n}}{n}}}{2}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{2}=\frac{1}{2} < 1$$

Per il criterio della radice la serie converge.

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