Esercizi svolti con il criterio del confronto (asintotico)

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n}$$

Dalla forma in cui si presenta il termine generale della serie, notiamo che possiamo far scomparire le radici al numeratore moltiplicando e dividendo per la loro somma:

$$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{2n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{1}{{2n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}$$

Al numeratore appare un'espressione dipendente da $n$ che può essere minorata in questo modo:

$$2n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \ge n(\sqrt{n}+\sqrt{n})=2n\sqrt{n} \ge n\sqrt{n}=n^{\frac{3}{2}}$$

da cui, passando ai reciproci si ottiene:

$$\frac{1}{2n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \le \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$$

Quest'ultima rappresenta la serie armonica con esponente $\frac{3}{2}>1$ la quale converge. Allora, per il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata, anche la serie data converge.

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