Esercizi svolti sulle serie alternanti

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n\cdot n-n^4}{n!}$$

Dividiamo la serie in due serie numeriche più semplici da studiare:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n\cdot n-n^4}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n\cdot n}{n!}-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n^4}{n!}$$

Studiamo il carattere della prima, verificando le due ipotesi del criterio di Leibniz:

$\begin{array}{l} 1)\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n!}=0\\ 2)\quad a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb n\quad\Leftrightarrow\quad \frac{n}{n!} > \frac{n+1}{(n+1)!}\quad\Leftrightarrow\quad \frac{n}{n\cdot (n-1)!} > \frac{n+1}{(n+1)\cdot n!}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{(n-1)!} > \frac{1}{n!}\ \forall n\in\mathbb N\end{array}$

Essendo verificate tutte le ipotesi, la prima serie converge per il criterio di Leibniz.

Il carattere della seconda serie, invece, può essere studiata con il criterio del rapporto.

$$\frac{\frac{(n+1)^4}{(n+1)!}}{\frac{n^4}{n!}}=\frac{n!}{n^4}\cdot\frac{(n+1)^4}{(n+1)!}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^4\cdot\frac{n!}{(n+1)\cdot n!}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^4\cdot\frac{1}{n+1}\longrightarrow 1\cdot 0=0 < 1$$

Per il criterio del rapporto, anche questa seconda serie converge. Allora, anche la differenza tra due serie convergenti è convergente.

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