Esercizi svolti con il criterio del rapporto

Studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{2^n}$$

La condizione sufficiente affinchè una serie possa convergere è banalmente verificata:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$$

Per determinare il carattere della serie, applichiamo il criterio del rapporto:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\frac{2^n}{n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}\frac{1}{2}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}<1$$

Per il criterio del rapporto la serie converge.

Osserviamo che potevamo usare anche il criterio della radice per determinare il carattere della serie. Provarlo per esercizio.

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