Misura dell'angolo al centro di una circonferenza

In una circonferenza di centro $O$ e diametro $\overline{AB}=2r$ la corda $MN$ è perpendicolare al diametro e lo divide in due parti che stanno nel rapporto $\frac{7}{3}$. Determina l'ampiezza dell'angolo al centro $\widehat{MON}=2x$

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $AB=2r$
  2. $\frac{CB}{AC}=\frac{7}{3}$
  3. $\widehat{MON}=2x=?$

problema 1 di trigonometria svolto

PROCEDIMENTO:

Dal fatto che

$$AC=AB-CB=2r-CB\quad\quad\mbox{e}\quad\quad\frac{CB}{AC}=\frac{7}{3}$$

si ha:

$\begin{array}{l}\frac{CB}{AC}=\frac{CB}{2r-CB}=\frac{7}{3}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad CB=\frac{7}{3}(2r-CB)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\\ \Rightarrow\quad\quad CB=\frac{14}{3}r-\frac{7}{3}CB\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\left(1+\frac{7}{3}\right)CB=\frac{14}{3}r\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\\ \Rightarrow\quad\quad \frac{10}{3}CB=\frac{14}{3}r\quad\quad\Rightarrow\quad\quad 10CB=14r\quad\quad\Rightarrow\quad\quad CB=\frac{14}{10}r=\frac{7}{5}r\end{array}$

Inoltre,

$$OC=CB-r=\frac{7}{5}r-r=\frac{2}{5}r$$

Applicando il teorema al triangolo rettangolo $NCO$ otteniamo:

$OC=ON\cos\frac{\widehat{MON}}{2}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{2}{5}r=r\cos\frac{2x}{2}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\cos x=\frac{2}{5}$

per cui possiamo dire che:

$$x=\arccos\frac{2}{5}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad \widehat{MON}=2\arccos\frac{2}{5}$$

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