Calcolo angolo in un rettangolo circoscritto a un triangolo

Nel rettangolo $ABCD$ è inscritto il triangolo $ABP$, con il vertice $P$ sul lato $CD$. Le misure dei lati del rettangolo sono $\overline{AB}=a$ e $\overline{AD}=(2-\sqrt{3})a$. Determina l'angolo $\widehat{DAP}$ sapendo che è valida la relazione $\overline{AP}^2+\overline{AD}^2=\overline{BP}^2$

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $AB=a$
  2. $AD=(2-\sqrt{3})a$
  3. $AP^2+AD^2=BP^2$
  4. $\widehat{DAP}=?$

problema 2 di trigonometria svolto

PROCEDIMENTO:

Poniamo $DP=y$ e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ADP$:

$$AP^2=AD^2*DP^2=\left[a(2-\sqrt{3})\right]^2+y^2=a^2(4+3-4\sqrt{3})+y^2=a^2(7-4\sqrt{3})+y^2$$

Applichiamo nuovamente il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $BCP$:

$$BP^2=BC^2+PC^2=\left[a(2-\sqrt{3})\right]^2+(a-y)^2=a^2(7-4\sqrt{3})+a^2+y^2-2ay$$

Adesso, sostituiamo i valori di $AP^2$ e $BP^2$ trovati nella relazione $AP^2+AD^2=BP^2$:

$\begin{array}{l} a^2(7-4\sqrt{3})+y^2+a^2(7-4\sqrt{3})=a(7-4\sqrt{3})+a^2+y^2-2ay\quad\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad\quad -2ay=a^2(7-4\sqrt{3})-a^2\quad\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad\quad y=-\frac{a^2(6-4\sqrt{3})}{2a}=-\frac{2a^2(3-2\sqrt{3}}{2a}=-a(3-2\sqrt{3})\end{array}$

Trovato $y=DP$, possiamo applicare il teorema dei seni al triangolo rettangolo $ADP$:

$\begin{array}{l} \frac{DP}{\sin\widehat{DAP}}=\frac{AD}{\sin(180^\circ-90^\circ-\widehat{DAP})}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{DP}{\sin\widehat{DAP}}=\frac{AD}{\sin(90^\circ-\widehat{DAP})}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{DP}{\sin\widehat{DAP}}=\frac{AD}{\cos\widehat{DAP}}\quad\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad\quad\frac{DP}{AD}=\frac{\sin\widehat{DAP}}{\cos\widehat{DAP}}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{DP}{AD}=\tan\widehat{DAP}\end{array}$

Sostituendo in quest'ultima equazione i valori di $DP$ e $AD$ possiamo ricavarci l'angolo $\widehat{DAP}$:

$\frac{-a(3-2\sqrt{3})}{a(3-2\sqrt{3})}=\tan\widehat{DAP}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad \tan\widehat{DAP}=\frac{2\sqrt{3}-3}{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\frac{3}{\sqrt{3}}\right)}{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

ovvero:

$\tan\widehat{DAP}=\sqrt{3}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad \widehat{DAP}=\arctan\sqrt{3}=60^\circ$

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