Calcolo perimetro parallelogramma noti angoli e diagonale minore

In un parallelogramma la diagonale minore misura $2\sqrt{2}cm$ e forma con un lato un angolo di $30^\circ$. Sapendo che l'angolo opposto a tale diagonale è di $45^\circ$, calcola il perimetro del parallelogramma.

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $AC=2\sqrt{2}cm$
  2. $\alpha=30^\circ$
  3. $\beta=45^\circ$
  4. $P=?$

problema 4 di trigonometria svolto

PROCEDIMENTO:

Per prima cosa, calcoliamo l'angolo $\gamma$, sapendo che un parallelogramma ha gli angoli opposti a due a due congruenti, mentre gli angoli adiacenti sono supplementari:

$\gamma=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ$

Applichiamo il teorema dei seni al triangolo $ADC$:

$\frac{AD}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{DC}{\sin\gamma}$

Considero dapprima la prima uguaglianza:

$\begin{array}{l} \frac{AD}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin\beta}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad \frac{AD}{\sin 30^\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}\quad\quad\Rightarrow\\ AD=2\sqrt{2}\sin 30^\circ\frac{1}{\sin 45^\circ}=2\sqrt{2}\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\frac{2}{\sqrt{2}}=2\end{array}$

Consideriamo adesso la seconda uguaglianza:

$\begin{array}{l} \frac{AC}{\sin\beta}=\frac{DC}{\sin\gamma}\quad\quad\Rightarrow\quad\quad \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}=\frac{DC}{\sin 105^\circ}\quad\quad\Rightarrow\\ DC=2\sqrt{2}\frac{2}{\sqrt{2}}\sin 105^\circ\end{array}$

Facendo uso della formula di addizione del seno possiamo riscrivere:

$\sin 105^\circ=\sin (60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cdot \cos 45^\circ+\cos 60^\circ\cdot\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

Quindi, continuando con il calcolo di $DC$ avremo:

$DC=2\sqrt{2}\frac{2}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=4\left(\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Possiamo concludere trovandoci il perimetro del parallelogramma:

$P=2(AD+DC)=2\left(2+\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

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