Equazioni con i numeri complessi risolte

Risolvere le seguenti equazioni in $\mathbb C$ (campo dei numeri complessi):

  1. $z^4-z^3-8z+8=0$
  2. $z^2+2z-1-2\sqrt{3}i=0$

Equazione 1

$$z^4-z^3-8z+8=0$$

Scomponiamo il polinomio di grado superiore al secondo con la regola di Ruffini.

Quindi, una prima radice dell'equazione è $z_1=1$ ed inoltre:

$$z^4-z^3-8z+8=(z-1)(z^3-8)$$

Il polinomio $z^3-8$ a sua volta si può scomporre osservando che si tratta di una differenza di cubi:

$$z^3-8=z^3-2^3=(z-2)(z^2+2z+4)$$

La seconda radice è anch'essa reale ed è $z_2=2$.

Applichiamo la formula del delta al trinomio $z^2+2z+4$ otteniamo altre due radici:

$$z_{3,4}=-1\pm\sqrt{1-4}=-1\pm\sqrt{-3}=-1\pm\sqrt{3}i$$

Equazione 2

$$z^2+2z-1-2\sqrt{3}i=0$$

In questo caso applichiamo direttamente la formula del delta al trinomio $z^2+2z-1-2\sqrt{3}i$:

$$z_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+1+2\sqrt{3}i}=-1\pm\sqrt{2+2\sqrt{3}i}$$

Calcoliamo la radice del numero complesso $2+2\sqrt{3}i$ scrivendolo in forma trigonometrica. Calcoliamo, dunque, modulo e argomento principale:

$$r=\sqrt{4+4\cdot 3}=\sqrt{16}=4$$

Poichè il numero complesso si trova nel primo quadrante del piano di Gauss, anche l'argomento principale dovrà essere scelto in tale quadrante:

$$\theta=\arctan\frac{2\sqrt{3}}{2}=\arctan\sqrt{3}=60°=\frac{\pi}{3}$$

Il numero complesso scritto in forma trigonometrica è:

$$2+2\sqrt{3}i=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Dunque, le radici quadrate del numero complesso in questione sono:

$$\omega_k =\sqrt{2+2\sqrt{3}i}=\sqrt{4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)\right]$$

per $k=0,1$. In particolare avremo:

$$\omega_0=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$$ $$\begin{array}{l} \omega_1 &=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)\right]=2\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]=\\ &=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}-i\end{array}$$

Possiamo dunque riscrivere le soluzioni nel modo che segue:

$$z_{1,2}=-1\pm\sqrt{2+2\sqrt{3}i}=-1\pm (\sqrt{3}+i)$$

Osserviamo che, un'equazioni di grado $n$ nel campo dei numeri complessi ha sempre $n$ radici!

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