Espressioni con i numeri numeri complessi

Dati i seguenti numeri complessi $z_1=1+2i,\ z_2=2+3i,\ z_3=3-2i,\ z_4=4-i$ calcolare le operazioni indicate:

  1. $z_1(z_2+z_3)$
  2. $(z_1-z_2))^2-(z_3+z_4)^2$
  3. $z_1:z_2$
  4. $(z_2)^3$

Risolviamo la 1 ricordando che la somma (o la differenza) fra due numeri complessi si calcola facendo la somma (o la differenza) della parte reale e la somma (o la differenza) dei coefficienti della parte immaginaria:

$$\begin{array}{l} z_1(z_2+z_3) &=(1+2i)(2+3i+3-2i)=(1+2i)(5-i)=\\ &=(5-i+10i-2i^2)=5+9i+2=7+9i\end{array}$$

Risolviamo la 2 sviluppando i quadrati di binomi con i numeri complessi usando la regola del prodotto notevole valida per i numeri reali $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$:

$$\begin{array}{l} (z_1-z_2))^2-(z_3+z_4)^2 &=(1+2i-2-3i)^2-(3-2i+4-i)=\\ &= (-1-i)^2-(7-3i)^2=1-1+2i-(49-9-42i)=\\ &= 2i-40+42i=-40+44i\end{array}$$

Risolviamo la 3 sapendo che il quoziente tra due numeri complessi può essere calcolato moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore per il coniugato del dividendo:

$$z_1:z_2 = \frac{1+2i}{2+3i}\cdot\frac{2-3i}{2-3i}=\frac{2-3i+4i+6}{4+9}=\frac{8+i}{13}=\frac{8}{13}+\frac{1}{13}i$$

Risolviamo la 4 sviluppando il cubo di binomio del numeri complesso usando la regola del prodotto notevole valida per i numeri reali $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$$\begin{array}{l} (z_2)^3 &=(2+3i)^3=8+3\cdot 4\cdot 3i+3\cdot 2(3i)^2+(3i)^3=\\ &=8+36i-54-27i=-46+9i\end{array}$$

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