Punti isolati e di accumulazione di un insieme infinito

Sia $X$ il seguente insieme numerico: $$X=\{0\}\ \cup\ \bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?

  1. $X$ ha un solo punto di accumulazione.
  2. $X$ ha un numero finito di punti isolati.
  3. $DX$ è un insieme infinito e limitato.
  4. $\mathop X\limits ^\circ=]0,3[$.
  5. $X\setminus\{0\}$ non è un insieme chiuso.

I punti di accumulazione di $X$ sono tutti i punti nell'intervallo $[1,3]$ e il punto limite della successione $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ che si trova calcolando:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{2}{n+3}=1$$

il quale è già incluso nell'intervallo $[1,3]$. Pertanto, i punti di accumulazione per $X$ sono infiniti e quindi la 1) è falsa. Inoltre il derivato di $X$ è

$$DX=[1,3]$$

il quale risulta essere un insieme infinito (perchè contiene un numero infinito di elementi) e limitato (inferiormente da 1 e superiormente da 3). Per tale motivo la risposta VERA è la 3).

I punti isolati di $X$ sono lo $0$ e tutti i punti dell'insieme $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ esclusi quelli appartenenti a $[1,3]$. Essendo i punti isolati per $X$ infiniti, anche la 2) è falsa:

$\mathop X\limits ^\circ=]0,3[$ è falsa perchè l'interno di $X$, ovvero l'insieme dei punti interni di $X$ sono quelli presenti nell'intervallo $]1,3[$.

Infine, osserviamo che:

$$X\setminus\{0\}=\bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$

La sua chiusura è data dai punti di $X\setminus\{0\}$ e dai punti della sua frontiera che risultano essere quelli appartenenti a $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$, pertanto:

$$\overline{X\setminus\{0\}}=X\setminus\{0\}$$

L'insieme è dunque chiuso poichè coincide con la sua chiusura. Pertanto la 5) è falsa.

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