Sia data la funzione

$$f(x)=|x-1|+|x+1|\ \forall x\in\mathbb R$$

Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA

Studio funzione con due valori assoluti

<div class="ex">
<p><em>Sia data la funzione</em></p>
$$f(x)=|x-1|+|x+1|\ \forall x\in\mathbb R$$
<p>Quale tra le seguenti asserzioni è <strong>FALSA</strong>?</p>
<ol class="number">
<li>$f$ non è limitata superiormente, ma è limitata inferiormente</li>
<li>$f$ ristretta a $[-2,4]$ è dotata di minimo assoluto e massimo assoluto</li>
<li>$\int\limits_{-2}^2 f(x)\ dx=9$</li>
<li>$f$ ha esattamente due punti angolosi</li>
<li>$f$ ristretta a $[-2,-1]\cup[5,6]$ è invertibile</li>
</ol></div>
<p>Senza effettuare il solito studio di funzioni notiamo che, con alcuni accorgimenti, possiamo sbarazzarci dei due valori assoluti. Infatti:</p>
<p>Se $x\ge 1\quad\Rightarrow\quad f(x)&gt;0\quad\Rightarrow\quad f(x)=x-1+x+1=2x$</p>
<p>Se $-1\le x &lt; 1\quad\Rightarrow\quad x-1 &lt; 0\quad\Rightarrow\quad f(x)=-(x-1)+x+1=-x+1+x+1=2$</p>
<p>Se $x &lt; -1\quad\Rightarrow\quad f(x) &lt; 0\quad\Rightarrow\quad f(x)=-(x-1)-(x+1)=-x+1-x-1=-2x$</p>
<p>In definitiva, abbiamo che:</p>
<p>$$f(x)=\begin{cases} 2x &amp; \mbox{ se } x\ge 1\\ 2 &amp; \mbox{ se } -1\le x &lt; 1\\ -2x &amp; \mbox{ se } x &lt; -1\end{cases}$$</p>
<p>Grazie alla semplicità della funzione appena trovata, possiamo subito disegnare il grafico:</p>
<p><img src="/images/materie/matematica-generale/studio-di-funzioni/funzione_valore_assoluto.jpg" alt="funzione con valore assoluto" width="634" height="496" class="centra" /></p>
<p>L'affermazione falsa è la 3) in quanto:</p>
<p>$\begin{array}{l} \int\limits_{-2}^2 f(x)\ dx=\int\limits_{-2}^{-1}-2x\ dx+\int\limits_{-1}^12\ dx+\int\limits_1^2 2x\ dx=\\ =\left[-2\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{-1}+\left[2x\right]_{-1}^1+\left[2\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}=\left[-x^2\right]_{-2}^{-1}+\left[2x\right]_{-1}^1+\left[x^2\right]_{1}^2=\\ =-1+4+2+2+4-1=10\end{array}$</p>
<p>Guardando il grafico, si verifica facilmente che le altre asserzioni sono vere.</p>

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