Studio funzione con logaritmo

Sia data la funzione $f(x)=x^2(1-2\log x)$

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?

  1. $f$ ristretta a $\left]0,\frac{1}{e}\right[$ è concava
  2. Esiste $c\in ]1,2[$ tale che $f(c)=0$
  3. codom$f=]-\infty,1[$
  4. $f$ non ha un minimo relativo
  5. $f$ ristretta a $\left]0,2\right[$ è invertibile

Studiamo la funzione seguendo i soliti 5 passi.

Campo di esistenza

Poichè la funzione presenta un $\log$ dobbiamo porre il suo argomento maggiore di $0$. Il campo di esistenza sarà dunque:

$$x>0$$

Positività

$$\begin{array}{l} &x^2(1-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad 1-2\log x>0\quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 1-\log x^2>0\quad\Rightarrow\quad\log x^2 < 1\quad\Rightarrow\quad x^2 < e\end{array}$$

Risolvendo quest'ultima disequazione trovo le soluzioni $-\sqrt{e} < x < \sqrt{e}$, ma poichè la funzione è definita soltanto per $x>0$, la funzione è positiva solo per $x < \sqrt{e}$.

Limiti

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2(1-2\log x)=\left[0\cdot\infty\right]$$

che è una forma indeterminata. Sciogliamola:

$$x^2(1-2\log x)=\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}$$

Applicando il teorema di de l'H$\hat{o}$pital a quest'ultima espressione otteniamo:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-2\log x}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{-\frac{2}{x}}{-\frac{2x}{x^4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{2}{x}\frac{x^4}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2=0$$

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^2(1-2\log x)=-\infty$$

Derivata prima

$$\begin{array}{l} f'(x)&=2x(1-2\log x)+x^2\left(-\frac{2}{x}\right)=2x(1-2\log x)-2x=\\ &=2x(1-2\log x-1)=2x(-2\log x)\end{array}$$

Studiamo il segno della derivata prima ponendola maggiore di $0$:

$$2x(-2\log x)>0\quad\Rightarrow\quad -2\log x>0\quad\Rightarrow\quad \log x < 0\quad\Rightarrow\quad x < 1$$ segno della derivata prima di funzione con logaritmo

Notiamo dal grafico che la funzione presenta un punto di massimo relativo per $x=1$.

Derivata seconda

$$f''(x)=2(-2\log x)+2x\left(-\frac{2}{x}\right)=-4\log x-4=-4(\log x+1)$$

Sudiamo il segno della derivata seconda:

$$-4(\log x+1)>0\quad\Rightarrow\quad \log x+1 < 0 \quad\Rightarrow\quad \log x < -1 \quad\Rightarrow\quad x < \frac{1}{e}$$

Dunque, la funzione è convessa per $x < \frac{1}{e}$ e concava per $x>\frac{1}{e}$.

Ecco il grafico completo della funzione proposta:

grafico di funzione con logaritmo

Rivediamo le risposte:

La 1) è chiaramente falsa perchè in $\left]0,\frac{1}{e}\right[$ la $f$ è convessa.

La 2) è verà perchè $f(\sqrt{e})=0$.

La 3) è vera perchè la funzione assume tutti i valori da $-\infty$ a $1$.

La 4) è banalmente vera perchè la funzione ha solo un massimo relativo.

La 5) è falsa perchè, affinchè una funzione sia invertibile in $]0,2[$, deve essere monotona (crescente o decrescente). Ma in tale intervallo la funziona non è né crescente, né decrescente, per cui $f$ non è invertibile.

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