Calcolo probabilità per la media campionaria di prove bernoulliane

Siano $X_i,\ i=1,2,\dots ,n$ variabili casuali, indipendenti aventi distribuzione di Bernoulli con probabilità $p=0,4$. Detto $\overline{X}$ la media campionaria delle $X_i$, trovare un'approssimazione delle seguenti probabilità:

  1. a. $P(\overline{X}\ge 0,43)\quad\mbox{con } (n=100)$
  2. b. $P(\overline{X} < 0,37)\quad\mbox{con } (n=400)$

Per il Teorema del Limite Centrale, si può affermare che $\overline{X}$ ha approssimativamente distribuzione normale standard

Osserviamo che, poichè gli $X_i$ hanno distribuzione di Bernoulli, la loro somma ha distribuzione Binomiale di parametri n e p:

$$X_1+X_2+\dots +X_n\sim B(n,p)$$

Ricordiamo che il valore atteso e la varianza per una distribuzione binomiale sono rispettivamente:

$\begin{array}{l} E(X_1+X_2+\dots +X_n)=n\cdot p\\ Var(X_1+X_2+\dots +X_n)=n\cdot p\cdot (1-p)\end{array}$

Detto ciò, dalle proprietà del valore atteso e della varianza di una combinazione lineare di variabili aleatorie indipendenti, si ottiene:

$\begin{array}{l} \mu_{\overline{X}}=E(\overline{X})=E\left(\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{n}\right)=\frac{1}{n}E(X_1+X_2+\dots +X_n)=\frac{1}{n}np=p\\ \sigma_{\overline{X}}^2=VAR(\overline{X})=VAR\left(\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}VAR(X_1+X_2+\dots +X_n)=\frac{1}{n^2}np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}\end{array}$

Nel caso a. osserviamo che $E(\overline{X})=n\cdot p=40\ge 5$, per cui occorre standardizzare la media campionaria con la formula:

$$Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sqrt{\sigma_{\overline{X}}}}=\frac{X-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$$

Pertanto la probabilità del punto a. risulta:

$P(\overline{X}\ge 0,43)=P\left(Z\ge\frac{0,43-0,4}{\sqrt{\frac{0,4\cdot 0,6}{100}}}\right)\simeq P(Z\ge 0,61)=1-P(Z < 0,61)=1-0,7291=0,2709$

Analogamento possiamo calcolare la probabilità del punto b.

$P(\overline{X} < 0,37)=P\left(Z < \frac{0,37-0,4}{\sqrt{\frac{0,4\cdot 0,6}{400}}}\right)\simeq P(Z < -1,22)= P(Z > 1,22)=1-P(Z\le 1,22)=1-0,8888=0,1112$

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