Calcolo probabilità mediante il Teorema del Limite Centrale

Sia data una popolazione avente valor medio $\mu_X=100$ e varianza $\sigma_X^2=43$. Detti $\overline{X}$ la media campionaria ed $n$ la numerosità del campione, calcolare le seguenti probabilità utilizzando il Teorema del Limite Centrale:

  1. a. $P(\overline{X}\le 101)\quad\mbox{con } (n=100)$
  2. b. $P(\overline{X} > 98)\quad\mbox{con } (n=165)$
  3. c. $P(101\le\overline{X}\le 103)\quad\mbox{con } (n=64)$

Per rispondere a tutti e 3 i quesiti, è giustificato utilizzare il Teorema del Limite Centrale poichè la dimensione del campione risulta maggiore o uguale a 30.

Rispondiamo al quesito a. ricordando dapprima che, per il teorema di cui sopra, il numero aleatorio dipendente dalla media campionaria è tale che

$$Z=\frac{\overline{X}-\mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$

Dunque, si ha:

$P(\overline{X}\le 101)=P\left(\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{100}}}\le\frac{101-100}{\sqrt{\frac{43}{100}}}\right)=P(Z\le 1,52)=0,9357$

In modo analogo si calcolano le probabilità del punto b. e c.:

$\mbox{b. } P(\overline{X} > 98)=P\left(\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{165}}} > \frac{98-100}{\sqrt{\frac{43}{165}}}\right)=P(Z > -3,92)=P(Z < 3,92)\simeq 1$

$\begin{array}{l} \mbox{c. }P(101\le\overline{X}\le 103)&=P\left(\frac{101-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\le\frac{\overline{X}-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\le\frac{103-100}{\sqrt{\frac{43}{64}}}\right)=P(1,22\le Z\le 3,66)=\\ &=P(Z\le 3,66)-P(Z < 1,22)\simeq 0,9999-0,8888=0,1111\end{array}$

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