Esercizi sulla potenza di un test

  1. Potenza di un test unilaterale sinistro
  2. Potenza di un test unilaterale destro
  3. $$

 Esercizio 1

Una famosa azienda produttrice di ferri da stiro garantisce che almeno il 90% di essi funziona per più di 10 anni. Si vuole sottoporre a test l'affermazione dell'azienda a livello dell'1%.
  1. Determinare la potenza del test quando l'ipotesi alternativa postula che la percentuale di ferri funzionanti oltre i 10 anni è dell'85% e la numerosità campionaria e 220.
  2. Si dica e si commenti il risultato di come varierebbe la potenza del test se invece nell'ipotesi alternativa si assumesse una analoga percentuale del 80%

a) Innanzitutto notiamo che si tratta di un test di ipotesi sulla proporzione $p$ della popolazione dei ferri da stiro le cui ipotesi sono: $$\begin{cases} H_0: p\geq 0.9\\ H_1: p=0.85\end{cases}$$ Dalle ipotesi formulate, si evince che il test è di tipo unilaterale sinistro. 
Osservando inoltre che il valore critico a livello dell'1% è $z_{0.99}=2.33$ e indicando con $p_0=0.9$ e $n=220$ rispettivamente proporzione e numerosità campionaria, possiamo ricavarci la regione di rifiuto: $$p_0-z_{0.99}\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=0.9-2.33\sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{220}}=0.8529$$ Dunque, la regione di rifiuto è $(-\infty,0.8526)$. 
La potenza del test è la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando essa è falsa, ossia: $$\begin{eqnarray} \pi &=&P(\mbox{Rifiutare }H_0|H_0\mbox{ falsa})=\\ &=& P\left(Z < \frac{0.8529-0.85}{\sqrt{\frac{0.85(1-0.85)}{220}}}\right)=\\ &=& P(Z < 0.12)=0.5478\end{eqnarray}$$ b) Stavolta le ipotesi del test sono: $$\begin{cases} H_0: p\geq 0.9\\ H_1: p=0.8\end{cases}$$ Essendo la regione di rifiuto analoga a quella del punto a, la potenza del test risulta: $$\pi=P\left(Z < \frac{0.8529-0.85}{\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{220}}}\right)=P(Z < 1.96)=0.975$$

Notiamo che la potenza del test è aumentata rispetto al caso a, ovvero c'è una maggiore probabilità che il risultato del test sia più attendibile. E' chiaro che aumentando la distanza tra l'ipotesi nulla e quella alternativa, la potenza del test aumenta; infatti, quanto più diversa è l'ipotesi alternativa da quella nulla ipotizzata, tanto più facile sarà scoprire l'esito del test.

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