Esercizi sulla disuguaglianza di Cebicev risolti

Dopo aver enunciato il Teorema di Cebicev o disuguaglianza di Cebicev presentiamo alcuni esercizi di statistica in cui è necessario il suo utilizzo.

  1. a href="#p1">
  2. a href="#p2">Stima della produzione di automobili in una fabbrica tramite la disuguaglianza di Cebicev
  3. a href="#p3">Determinare maggiorazioni per le probabilità mediante la disuguaglianza di Cebicev
  4. a href="#p4">Probabilità che la tensione ai capi di un resistore si discosti dal suo valore nominale di una certa quantità

 Problema 1

Le lastre di alluminio di un lotto hanno lunghezza, in centimetri, avente media aritmetica pari a 200 e varianza pari a 9. Una lastra è considerata difettosa se la sua lunghezza è inferiore a 191cm o superiore a 209cm; il lotto viene rifiutato e rinviato al produttore se contiene più del 15% di lastre difettose. Sulla base delle informazioni a disposizione, il lotto andrà accettato o rifiutato?

Poichè l'intervallo $(191;209)$ si può scrivere come $(200-3\cdot 3;200+3\cdot 3)$, per il teorema di Cebicev, almeno il $\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot 100\%=88.9\%$ dei dati è in tale intervallo; di conseguenza al più l'$11.1\%$ dei dati è maggiore di 209cm o minore di 191cm. Il lotto andrà accettato!

 Problema 2

Il numero di automobili prodotte da una fabbrica in una settimana è una variabile aleatoria $X$ con valor medio $\mu=500$ e varianza $\sigma^2=100$. Qual è la probabilità che questa settimana la produzione sia compresa fra 400 e 600 automobili?

Per calcolare la probabilità utilizziamo la disuguaglianza di Cebicev $$\begin{array}{l} P(\mu-k\sigma < X < \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}\\ P(500-k\cdot 10 < X < 500+k\cdot 10)\ge 1-\frac{1}{k^2}\end{array}$$

Poichè vogliamo che $X$ sia compresa tra 400 e 600, per trovare il valore di $k$, basta imporre $$500-k\cdot 10=400\ \Rightarrow\ k=10$$

Dunque, sostituendo il valore di $k$ nella precedente espressione otteniamo: $$P(400 < X < 600)\ge 1-\frac{1}{100}=0.99$$

 Problema 3

Una variabile aleatoria $X$ ha valor medio $\mu=3$ e varianza $\sigma^2=2$. Mediante la disuguaglianza di Cebicev determinare una maggiorazione per le seguenti probabilità

  1. $P(|X-3|\ge 2)$
  2. $P(|X-3|\ge 1)$
  3. $P(|X-3|\le 1.5)$

Le tre probabilità che si vogliono stimare sono date dalle aree colorate rispettivamente nelle figure 1,2 e 3. Ad esempio per quanto riguarda la probabilità 1, l'espressione $|X-3|\ge 2$ è equivalente a $X\le 1\ \vee\ X\ge 5$ (area evidenziata in blu nella figura 1).

Grafico probabilità stimate con la disuguaglianza di Cebicev

Utilizzando la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(|X-\mu|\ge k\cdot\sigma)\le\frac{1}{k^2}$$ si ottiene:

  1. $P(|X-3|\ge 2)\le\frac{1}{2}$ (con $k=\sqrt{2}$)
  2. $P(|X-3|\ge 1)\le 2$ (con $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$)

L'ultima stima è priva di interesse, perchè troppo grossolana.

Utilizzando, invece, la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(\mu-k\sigma \le X \le \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ o equivalentemente $$P(|X-\mu|\le k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ si ha: $$P(|X-3|\le k\cdot\sqrt{2})\ge 1-\frac{1}{k^2}$$

Poichè $k\sigma=1.5$ deve essere $k=\frac{1.5}{\sigma}=\frac{1.5}{\sqrt{2}}$.

Dunque una maggiorazione per la probabilità 3 è: $$P(|X-3|\le 1.5)\ge 1-\frac{2}{1.5^2}=\frac{1}{9}$$

 Problema 4

Si consideri la misura della tensione ai capi di un resistore. A causa del rumore termico nel resistore, la tensione misurata $V$ è una variabile aleatoria con media pari al valore nominale $\overline{V}=5$ Volt e deviazione standard $\sigma_V=0.1$ Volt. Quanto vale la probabilità che la misura si discosti dal valore nominale $\overline{V}$ di almeno $0.2$ Volt?

Dato che non si conosce la distribuzione di $V$, possiamo solo fornire un limite superiore per tale probabilità utilizzando la disuguaglianza di Cebicev:

$$P(|X-\mu|\geq\varepsilon)\leq\left(\frac{\sigma}{\varepsilon}\right)^2$$

Sostituendo $\mu=5$, $\sigma=0.1$ e $\varepsilon=0.2$ otteniamo la probabilità richiesta:

 

$$P(|X-5|\geq 0.2)\leq\left(\frac{0.1}{0.2}\right)^2=0.25$$

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.