Calcolo densità di T=e^X con X uniforme in [0,1]

Sia $X$ una v.a. uniforme nell'intervallo $[0,1]$. Determinare la funzione di densità e la funzione di ripartizione della v.a. $T=e^X$

Poichè $X$ è uniforme in $[0,1]$, sappiamo che la sua funzione di ripartizione è: $$F_X(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } x\le 1\\ x & \mbox{se } 0 < x \le 1\\ 1 & \mbox{se } x > 1\end{cases}$$

Inoltre, dato che $X\in(0,1)$ si avrà $T=e^X\in(1,e)$; infatti: $$\begin{align} \mbox{per } X=0\quad \longrightarrow\ T=e^0=1\\ \mbox{per } X=1\quad \longrightarrow\ T=e^1=e\end{align}$$

Calcoliamo dapprima la funzione di ripartizione di T utilizzando la definizione. 
Banalmente, $F_T(t) = P(T\le t)= P(e^X\le t)=0$ per ogni $t \le 1$ dato che qualsiasi valore minore o uguale a 1 non potrà mai essere assunto dalla variabile $T\in(1,e)$. Da qui in poi, dunque, lavoreremo nel caso non banale, ovvero per $t > 1$. $$\begin{eqnarray*} F_T(t) &=& P(T\leq t)=\\ &=&P(e^X\leq t)=\\ &=&P(X\leq \ln t)=\\ &=&F_X(\ln t)\end{eqnarray*}$$

In particolare, per $1 < t \le e$, ricordando che $F_X(x)=x$ se $0 < x \ge 1$, si ha: $$F_X(\ln t)=\ln t$$ Infine per $t>1$ si ha $F_T(t)=P(T\leq t)=1$ dato che la variabile $T$ assumerà sempre un valore minore o uguale a 1.

Riassumendo, abbiamo trovato: $$F_T(t)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } t\le 1\\ \ln t & \mbox{se } 1 < t \le e\\ 1 & \mbox{se } t > e\end{cases}$$

Ricordando che la funzione di densità è la derivata della funzione di ripartizione, otteniamo: $$f_T(t)=\frac{dF(t)}{dt}= \begin{cases} 0 & \mbox{se } t\le 1\ \vee t > e\\ \frac{1}{t} & \mbox{se } 1 < t \le e\end{cases}$$

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