Calcolo densità di X=U^1/alpha con U esponenziale

Sia $U$ una v.a. esponenziale di parametro $\lambda >0$. Per $\alpha >0$, consideriamo la v.a. $X=U^{1/\alpha}$. Determinare la distribuzione della v.a. $X$ e calcolare i suoi momenti

Poichè $U$ è un'esponenziale di parametro $\lambda$, la sua funzione di ripartizione è: $$F_U(u)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } u\le 0\\ 1-e^{-\lambda u} & \mbox{se } u > 0\end{cases}$$

Inoltre, dato che $U\in(0,=\infty)$ si avrà pure $X=U^{1/\alpha}\in(0,+\infty)$.

Calcoliamo la funzione di ripartizione di $X$ utilizzando la definizione. 
Banalmente, $F_X(x) = P(X\le x)= P(U^{1/\alpha}\le x)=0$ per ogni $x \le 0$ dato che qualsiasi valore minore o uguale a 0 non potrà mai essere assunto dalla variabile $X\in(0,+\infty)$. Supponiamo adesso $x > 0$. $$\begin{eqnarray*} F_X(x) &=& P(X\leq x)=\\ &=&P(U^{1/\alpha}\leq x)=\\ &=&P(U\leq x^{\alpha})=\\ &=&F_U(x^{\alpha})=\\ &=&1-e^{-\lambda x^{\alpha}}\end{eqnarray*}$$

Infatti, per $x >0$ implica $u > 0$ e in tale intervallo si ha $F_U(u)=1-e^{-\lambda u}$.

Riassumendo, abbiamo trovato: $$F_X(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{se } x\le 0\\ 1-e^{-\lambda x^{\alpha}} & \mbox{se } x > 0\end{cases}$$

A questo punto, facendo la derivata della funzione di ripartizione $F_X(x)$ otteniamo la funzione di densità: $$f_X(x)=\frac{dF(x)}{dx}= \begin{cases} 0 & \mbox{se } x\le 0\\ \lambda\alpha x^{\alpha -1}e^{-\lambda x^{\alpha}} & \mbox{se } x >0\end{cases}$$

Ricordando che i momenti di ordine r si definiscono come $$E(X^r)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^rf_X(x)\ dx$$ si ha: $$\begin{eqnarray*} E(X^r) &=& \int_0^{+\infty}x^r\lambda\alpha x^{\alpha -1}e^{-\lambda x^{\alpha}}\ dt\quad\underset{=}{t=\lambda x^{\alpha}}\\ &=&\int_0^{+\infty}\left(\frac{t}{\lambda}\right)^{r/\alpha}e^{-t}\ dt=\\ &=&\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{r/\alpha}\int_0^{+\infty}t^{r/\alpha}e^{-t}\ dt=\\ &=&\frac{1}{\lambda^{r/\alpha}}\Gamma\left(\frac{r}{\alpha}+1\right)\end{eqnarray*}$$

Abbiamo applicato il metodo di sostituzione al secondo passaggio osservando che: $$t=\lambda x^{\alpha}\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} dt=\lambda\alpha x^{\alpha -1}\ \\ \\ x^{\alpha}=\frac{t}{\lambda}\ \Rightarrow \ x=\left(\frac{t}{\lambda}\right)^{1/\alpha} \end{array}$$

Inoltre, l'ultimo integrale concide con la funzione Gamma definita come: $$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}\ dt$$ dove, nel nostro caso si è osservato che: $$\frac{r}{\alpha}=z-1\ \Rightarrow \ z=\frac{r}{\alpha}+1$$

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