Le uova di gallina di un allevamento hanno un peso medio di 60 grammi e una deviazione standard di 12 grammi (si assuma che i pesi delle uova seguono una distribuzione normale). Uova con peso inferiore a 45 grammi vengono classificate come piccole. Le rimanenti vengono classificate come standard e come grandi. Assumendo che la probabilità di trovare un uovo standard sia uguale alla probabilità di trovare un uovo grande, a quale peso bisognerebbe distinguere tra standard e grandi?
Scriviamo i dati del problema:
- $X=\mbox{"peso dell'uovo"}\quad X\sim N(60,12^2)$
- $X < 45=$ "evento uova classificate come piccole"
- $X\ge 45=$ "evento uova classificate come standard o grandi"
La probababilità di trovare un uovo standard è la probabilità che X sia compreso tra 45 e un certo numero di grammi $x_0$(incognita).
$$P(45\le X\le x_0)$$
Mentre, la probabilità di trovare un uovo grande sarà la probabilità che X sia maggiore di $x_0$.
$$P(X > x_0)$$
Per trovare $x_0$, visto che la probabilità di trovare un uovo standard equivale a quella di trovarne uno grande, basta imporre la seguente uguaglianza:
$$P(45\le X\le x_0)=P(X > x_0)$$
Elaboriamola. Si ha che
$$\begin{array}{l} P(45\le X\le x_0)=P(X\le x_0)-P(X\le 45)\\ P(X > x_0)=1-P(X\le x_0)\end{array}$$
Dunque, l'uguaglianza iniziale si trasforma così:
$P(X\le x_0)-P(X\le 45)=1-P(X\le x_0)\quad\Rightarrow\quad 2P(X\le x_0)=1+P(X\le 45)\quad\Rightarrow\quad P(X\le x_0)=\frac{1+P(X\le 45)}{2}$
Adesso standardizziamo la variabile X, sapendo che $Z=\frac{X-60}{12}$:
$P\left(\frac{X-60}{12}\le\frac{x_0-60}{12}\right)=\frac{1+P\left(\frac{X-60}{12}\le \frac{45-60}{12}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=\frac{1+P(Z\le -1,25)}{2}$
Calcoliamo $P(Z\le -1,25)$:
$P(Z\le -1,25)=P(Z\ge 1,25)=1-P(Z < 1,25)=1-0,8944=0,1056\quad\mbox{valore preso dalle tavole}$
Sostituendo quest'ultima probabilità nell'equazione precedente troviamo che:
$P(Z\le z_0)=\frac{1+0,1056}{2}\quad\Rightarrow\quad P(Z\le z_0)=0.5528$
Leggendo dalle tavole della distribuzione normale il punto critico $z$ in corrispondenza dell'area che si avvicina di più a 0,5528 (0,5517), ricaviamo che $z_0=0,13$.
Ricordando che $z_0=\frac{x_0-60}{12}$ possiamo finalmente ricavare il valore di $x_0$.
$0,13=\frac{x_0-60}{12}\quad\Rightarrow\quad 12\cdot 0,13=x_0-60 \quad\Rightarrow\quad x_0= 12\cdot 0,13+60=61,56$