Esercizi svolti sulla distribuzione binomiale

In questa pagina trovate tanti problemi sul calcolo di probabilità di variabili aleatorie che si distribuiscono secondo una binomiale di parametri $n$ e $p$. In particolar modo, facendo uso della definizione di distribuzione binomiale e delle proprietà che la caratterizzano, evidenzieremo come capire dal testo di un esercizio che la variabile aleatoria in esama ha distribuzione binomiale.

  1. Calcolo probabilità di nascita di 2 o più piante con fiori bianchi da 5 semi
  2. Calcolo probabilità di una distribuzione binomiale tramite il teorema sulla probabilità totale
  3. Calcolo probabilità di una v.a. binomiale con approssimazione alla normale

 Problema 1

Una busta contiene semi di una pianta che produce fiori bianchi nel 40% dei casi o rossi altrimenti. Qual è la probabilità che piantando 5 semi si abbiano

  1. 3 piante a fiori rossi?
  2. 3 o più piante a fiori bianchi?
  3. Quanti semi bisogna piantare affinchè la probabilità di avere una o più piante a fiori rossi sia maggiore dell'80%?

Indichiamo con $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di piante con fiori rossi. Dato che i semi piantati sono 5, tale variabile può assumere i seguenti valori: 0,1,2,3,4,5.

Inoltre, 5 sono le $n$ prove indipendenti che vengono effettuate.

Infine, $p=0,6$ è la probabilità che ciascuna prova abbia successo, ovvero che da un seme nasca una pianta con fiori rossi.

Risulta, allora chiaro che $X$ ha distribuzione binomiale di parametri $n=5$ e $p=0,6$: $$X\sim B(5,0.4)$$

A questo proposito ricordiamo che la funzione di probabilità di X è: $$P(X=x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}$$

Il punto 1. chiede di calcolare la probabilità che la variabile $X$ assuma valore 3, dunque: $$P(X=3)={5\choose 3}0,6^30,4^2=\frac{5!}{3!2!}0,6^30,4^2=0,3456$$

(ripassa il coefficiente binomiale ${n\choose x}$)

La probabilità del punto 2. è equivalente alla probabilità che nascano meno di 3 piante con fiori rossi, ovvero $$\begin{eqnarray} P(X < 3) &=& P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)=\\ &=&{5\choose 0}0,6^0,4^5+{5\choose 1}0,6^1,4^4+{5\choose 2}0,6^2,4^3=\\ &=&0,317\end{eqnarray}$$

Per rispondere alla domanda 3. dobbiamo calcolare la probabilità che la variabile $X$ assuma valore maggiore o uguale a 1, trattando il numero di prove $n$ come incognita, cioè: $$\begin{eqnarray} P(X\ge 1)&=& P(X = 1)+P(X = 2)+\dots + P(X=n)=\\ &=& 1-P(X < 1)=1-P(X=0)=\\ &=& 1-{n\choose 0}0,6^0,4^n=1-0,4^n\end{eqnarray}$$

Imponendo che $P(X\ge 1)=1-0,4^n >0,8$ come il testo richiede, e risolvendo la disequazione esponenziale $1-0,4^n >0,8$ si ottiene: $$0,4^n < 0,2\ \Rightarrow\ \log_{0,4}0,4^n > \log_{0,4}0,2\ \Rightarrow\ n>\log_{0,4}0,2\simeq 1,75$$

Questo vuol dire che sono necessari almeno $n = 2$ semi affinchè la probabilità di avere almeno una pianta a fiori rossi sia superiore all'80%.

 Problema 2

Una scatola contiene 3 palline numerate con 1, 2 e 4. Viene estratta a caso una pallina e successivamente si lancia una moneta (assumere P(Testa=)=$p$) un numero di volte pari a quello riportato sulla pallina. Sia $X$ la v.a. "numero di teste", trovare

  1. i possibili valori assunti da $X$ e le rispettive probabilità; (risoluzione)
  2. il valore atteso e la varianza di $X$ (risoluzione)
  3. La probabilità di ottenere al più due teste (risoluzione)

 

Quesito 1

Indicando con $Y$ la v.a. "numero della pallina estratta" si ha che $X$ ha distribuzione binomiale di parametri $n=Y$ e probabilità $p=\frac{1}{2}$.

I valori assunti da $X$ si trovano pensando al numero di volte che può uscire testa da 1 lancio della moneta (0 o 1), da 2 lanci (0, 1 o 2) e da 4 lanci (0, 1, 2, 3 o 4); dunque: $$X\in\{0,1,2,3,4\}$$

Calcoliamo le probabilità che $X$ assuma ciascuno di questi valori. Dato che tali probabilità dipendono dal numero della pallina estratta, è necessario applicare il teorema della probabilità totale: $$\begin{eqnarray} P(X=0) &=& P(X=0|Y=1)\cdot P(Y=1)+\\ &+& P(X=0|Y=2)\cdot P(Y=2)+\\ &+& P(X=0|Y=4)\cdot P(Y=4)=\end{eqnarray}$$

Le probabilità $P(Y=1)$, $P(Y=2)$ e $P(Y=4)$ valgono tutte $\frac{1}{3}$ dato che le estrazioni delle palline sono eventi indipendenti, mentre $P(X=0|Y=1)$, $P(X=0|Y=2)$ e $P(X=0|Y=4)$ sono rispettivamente le funzioni di densità della distribuzione binomiale rispettivamente con $n=1,2,4$: $$=\frac{1}{3}\left[{1\choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^1+ {2\choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^2+ {4\choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4\right]=0,27$$

Analogamente si ha: $$P(X=1)=\frac{1}{3}\left[{1\choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^0+ {2\choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^1+ {4\choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]=0,42$$

Per quanto riguarda la probabilità che esca 2 volte testa, è necessario osservare che $P(X=2|Y=1)=0$ dato che su 1 solo lancio non può mai uscire 2 volte testa, dunque: $$P(X=2)=\frac{1}{3}\left[{2\choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^0+ {4\choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]=0,21$$

Per motivi analoghi, nel calcolo delle probabilità che venga fuori 3 volte testa, risultano nulle le probabilità $P(X=3|Y=1)$ e $P(X=3|Y=2)$, per cui risulta: $$P(X=3)=\frac{1}{3}{4\choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1=0,08$$

Infine si ha: $$P(X=4)=\frac{1}{3}{4\choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0=0,02$$

 

Quesito 2

Applicando la definizione di valore atteso e varianza di una variabile aleatoria discreta, si ottiene: $$\begin{eqnarray} E(X)&=&\sum\limits_{i=0}^4 x_1\cdot P(X=x_i)=\\ &=&0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+\\ &+&3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)=1,16 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} VAR(X)&=&\sum\limits_{i=0}^4x_i^2\cdot P(X=x_i)-E(X)^2=\\ &=&0^2\cdot P(X=0)+1^2\cdot P(X=1)+2^2\cdot P(X=2)+\\ &+&3^2\cdot P(X=3)+4^2\cdot P(X=4)=0,9544\end{eqnarray}$$

 

Quesito 3

La probabilità di ottenere al più due teste è data da: $$\begin{eqnarray} P(X\le 2)&=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,9\\ &=&\end{eqnarray}$$

 Problema 3

Data una popolazione in cui il 40% degli individui possiede una certa caratteristica A, determinare la probabilità che in un campione di 2000 elementi, estratti con ripetizione, la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra il 38% ed il 45%

Indicando con

  • $X$ il numero di individui con la caratteristica A.
  • $n=2000$ la numerosità del campione.
  • $p=0.4$ la probabilità che un individuo estratto a caso abbia la caratteristica A.

si nota che $X$ ha distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$. Inoltre, dato che: $$\begin{align*} n\cdot p=2000\cdot 0.4=800\geq 5\\ n\cdot p\cdot (1-p)=2000\cdot 0.4\cdot 0.6=480\geq 5\end{align*}$$ $X$ si può approssimare con una distribuzione normale $N$ di paramentri $\mu=n\cdot p=800$ e $\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)=480$ (vedi approfondimento).

Dato che il 38% e il 45% del campione corrispondono rispettivamente a: $$\begin{align*} 2000*0.38=760\ \mbox{individui}\\ 2000*0.45=900\ \mbox{individui}\end{align*}$$ la probabilità richiesta è $$P(760\leq X\leq 900)\qquad (\large\bigstar)$$

Applicando la correzione di continuità, possiamo riscrivere la $(\large\bigstar)$ come segue: $$P\left(760-\frac{1}{2}\leq N\leq 900+\frac{1}{2}\right)=P(759.5\leq N\leq 900.5)$$

Standardizzando la variabile $N$ otteniamo la probabilità di una variabile $Z$ normale standard che possiamo calcolare facendo uso delle tavole: $$\begin{eqnarray*} &P&\left(\frac{759.5-800}{\sqrt{480}}\leq Z\leq\frac{900.5-800}{\sqrt{480}}\right)=\\ &=&P(-1.85\leq Z\leq 4.59)=\\ &=&P(Z\leq 4.59)-P(Z\leq -1.85)=\\ &=&1-[1-P(Z\leq 1.85)]=0.9678\end{eqnarray*}$$

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.