Esercizi risolti sulla distribuzione ipergeometrica

Se sei capitato qui è perchè stai cercando di capire come riconoscere la distribuzione ipergeometrica e calcolare una certa probabilità di tale variabile indicata nel testo di un compito di statistica. Sei nel posto giusto perchè qui di seguito trovi degli esercizi di statistica che richiedono il calcolo della probabilità di una variabile aleatoria con distribuzione ipergeometrica.

Qui invece trovi problemi sulla distribuzione ipergeometrica da risolvere.

Buona lettura!

  1. Probabilità di superare un esame consistente in 20 domande a risposta multipla e supposto che ho studiato solo il 75% del programma
  2. Determinazione della funzione di massa di probabilità, funzione di distribuzione e valore atteso di una variabile aleatoria ipergeometrica

 Problema 1

L'esame di statistica comporta rispondere a 4 domande che il docente estrae da un insieme di 20. L'esame viene superato se si risponde correttamente ad almeno 3 domande. Io ho studiato solo il 75% del programma e non è conveniente tentare di rispondere a caso se non si conosce la risposta esatta. Se invece si risponde a meno di 2 domande non si può ripetere l'esame nell'anno.
  1. Che probabilità ho di superare l'esame?
  2. Che probabilità ho che non potrò ritentare l'esame nell'anno?

Indichiamo con $X$ la variabile aleatoria che indica il numero di domande corrette, con $M=20$ il numero totale di domande, con $n=4$ il numero di domande estratte e con $k$ il numero di domande a cui saprei rispondere dato da $$k=\frac{75\cdot 20}{100}$$

Si ha che $X$ ha distribuzione ipergeometrica $X\sim H(20,15,4)$ con funzione di massa di probabilità pari a $$P(X=x)=\frac{{{15}\choose {x}}{{5}\choose {4-x}}}{{{20}\choose{4}}}$$

Dato che per superare l'esame devo rispondere ad almeno 3 domande, deve essere $X\geq 3$, dunque, la probabilità richiesta al punto a) è: $$\begin{eqnarray} P(X\geq 3)&=& P(X=3)+P(X=4)=\\ &=&\frac{{{15}\choose {3}}{{5}\choose {1}}}{{{20}\choose{4}}}+\frac{{{15}\choose {4}}{{5}\choose {0}}}{{{20}\choose{4}}}=\\ &=&0.4696+0.2817 =0.7513\end{eqnarray}$$

Inoltre, dato che non posso ritentare l'esame se rispondo correttamente a meno di 2 domande, deve essere $x < 2$ e quindi la probabilità del punto b) è: $$\begin{eqnarray} P(X < 2)&=& P(X=0)+P(X=1)=\\ &=&\frac{{{15}\choose {0}}{{5}\choose {4}}}{{{20}\choose{4}}}+\frac{{{15}\choose {1}}{{5}\choose {3}}}{{{20}\choose{4}}}=\\ &=&0.001+0.031 =0.032\end{eqnarray}$$

 Problema 2

Un'urna contiene 3 palline rosse e 5 blu. Si estraggono 3 palline in blocco (cioè tutte insieme). Se indichiamo con $X=k$ la v.a. discreta che conta il numero di palline rosse estratte (valori assunti da X:0,1,2,3), determinare:

  1. la massa di probabilità di $X$
  2. la funzione di distribuzione di $X$
  3. il valore atteso di $X$

Risulta molto evidente che la v.a. in questione ha distribuzione ipergeometrica $X\sim(8,3,3)$ che come visto nella parte teorica ha funzione di massa di probabilità pari a $$f(k)=P(X=k)=\frac{{{3}\choose {k}}{{5}\choose {3-k}}}{{{8}\choose{3}}},\quad k=0,1,2,3$$

Quindi abbiamo: $$\begin{eqnarray} f(k)&=&\frac{{{3}\choose {0}}{{5}\choose {3}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{5}{28}\\ f(1)&=&\frac{{{3}\choose {1}}{{5}\choose {2}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{15}{28}\\ f(2)&=&\frac{{{3}\choose {2}}{{5}\choose {1}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{15}{56}\\ f(3)&=&\frac{{{3}\choose {3}}{{5}\choose {0}}}{{{8}\choose{3}}}=\frac{1}{56}\end{eqnarray}$$

La funzione di distribuzione della variabile ipergeometrica (distribuzione di una v.a. discreta) è invece: $$F(k)=\begin{cases} 0 & k < 0\\ \sum\limits_{i=0}^kf(i) & k=0,1,2\\ 1 & k\geq 3\end{cases}$$

Infine, applicando la definizione di valore atteso per una v.a. discreta si ha: $$\begin{eqnarray} E(X)&=&\sum\limits_{i=0}^3f(i)\cdot i=\\ &=&f(0)\cdot 0+f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 2+f(3)\cdot 3=\\ &=& \frac{15}{28}+\frac{15}{56}\cdot 2+\frac{1}{56}\cdot 3=\frac{9}{8}=1.125 \end{eqnarray}$$

 Problemi sulla distribuzione ipergeometrica da risolvere

    1. Si sorteggia a caso una commissione di 3 membri tra una popolazione composta da 7 uomini e 3 donne. Quanto vale la probabilità che le donne siano in maggioranza nella commissione così sorteggiata?

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