Densità congiunta della differenza di due variabili aleatorie aventi distribuzione esponenziale

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione esponenziale rispettivamente di parametri $\lambda_1$ e $\lambda_2$. Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria $Z=X-Y$.

Tale calcolo può essere fatto sfruttando la formula dell'integrale di convoluzione

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,x-z)dx$$ 

Però, poichè $Z\in\mathbb{R}$ bisogna prestare molta attenzione per la scelta degli estremi di integrazione. Di conseguenza, risulta più semplice risolvere il problema mediante il metodo grafico.

A tal proposito, consigliamo la lettura di questo articolo.

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