Densità congiunta della somma di 2 distribuzioni uniformi in (0,1)

Sia $(X_1,X_2)$ un vettore aleatorio distribuito uniformemente nell'intervallo $(0,1)$ e sia $S=X_1+X_2$ la loro somma. Calcolare la funzione di densità congiunta di $S$.

Osserviamo innanzitutto che stiamo lavorando su $s\in (0,2)$. Inoltre, l'integrale di convoluzione é:

$$f_S(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_1}(s)\cdot f_{X_2}(t-s)\ ds$$

dove

$$f_{X_1}(s)=\begin{cases} 1 & \mbox{se } s\in (0,1)\\ 0 & \mbox{se } s\not\in (0,1)\end{cases}$$ $$f_{X_2}(t-s)=\begin{cases} 1 & \mbox{se } t-s\in (0,1)\\ 0 & \mbox{se } t-s\not\in (0,1)\end{cases}$$

L'integranda della formula di convoluzione è non nulla quando $s\in (0,1)$ (che viene da $f_{X_1}$) e $t-s\in (0,1)$ (che viene da $f_{X_2}$). Poichè stiamo integrando in $s$, dobbiamo trovare delle condizioni esplicite in $s$: la prima condizione è gia pronta ($0 < s < 1$); la seconda si ottiene imponendo $0 < t-s < 1$, ossia $t-1 < s < t$. Dunque, le condizioni che ottengo sono:

$$\begin{eqnarray} 0 < s < 1\\ t-1 < s < t\end{eqnarray}$$

Dall'intersezione di queste due esce fuori che $max(0,t-1) < s < min(t,1)$ e dunque:

$$f_S(t)=\int_{max(0,t-1)}^{min(t,1)}ds$$

Da qui la necessita di suddividere i casi $t\in (0,1)$ ed $t\in (1,2)$ ottenendo così:

$$f_S(t)=\begin{cases} \int_0^t ds = t & \mbox{se } t\in (0,1)\\ \int_{t-1}^1 ds = 2-t & \mbox{se } t\in (1,2)\end{cases}$$

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