Distribuzione uniforme nel cerchio di raggio unitario

Dato il vettore aleatorio $(X,Y)$ avente distribuzione uniforme nell'insieme $$C=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\le 1\}$$ trovare la densità congiunta e le densità marginali

L'insieme $C$ non è altro che il cerchio di centro l'origine e raggio unitario, la cui misura vale $\pi$.

Cerchio di raggio unitario per distribuzione uniforme

Allora, la funzione di densità congiunta del vettore aleatorio uniformemente distribuito è:

$$f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{\pi} &\mbox{se } (x,y)\in C\\ 0 &\mbox{se } (x,y)\not\in C\end{cases}$$

Fissata $x\in [-1,1]$, la variabile $y$ varierà tra $-\sqrt{1-x^2}$ e $\sqrt{1-x^2}$. Per tale motivo la densità marginale di $X$ è:

$$f_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\ dy=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi}\ dy=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}$$

Analogamente, fissata $y\in [-1,1]$, la variabile $x$ varierà tra $-\sqrt{1-y^2}$ e $\sqrt{1-y^2}$. Per tale motivo la densità marginale di $Y$ è:

$$f_2(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\ dx=\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi}\ dx=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}$$

Da questi risultati si può osservare che $X$ e $Y$ non sono indipendenti dato che $f(x,y)\neq f_1(x)\cdot f_2(y)$. Inoltre, essi sono incorrelati:

$$\begin{eqnarray} E(XY)&=&\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\ dx\ dy=\frac{1}{\pi}\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xy\ dx\ dy=\\ &=&\int_{-1}^1x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int_{-1}^1x\frac{1-x^2-1+x^2}{2}\ dx=0\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} E(X)&=&\int_{-1}^1\frac{2x}{\pi}\sqrt{1-x^2}\ dx=0\\ E(Y)&=&\int_{-1}^1\frac{2y}{\pi}\sqrt{1-y^2}\ dx=0\end{eqnarray}$$

Questi ultimi due integrali sono nulli perche le funzioni integrande sono dispari e il dominio è simmetrico

Dalla definizione di covarianza tra due numeri aleatori, si ha che $COV(X,Y)=0$.

Questo esercizio fornisce un controesempio importante del fatto che se due numeri aleatori sono incorrelati NON è detto che debbano essere anche indipendenti.

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