Valore atteso del massimo tra due variabili aleatorie con distribuzione uniforme in (0,1)

Siano $X_1$ e $X_2$ due numeri aleatori indipendenti con distribuzione uniforme in $(0,1)$ e sia $S=max\{X_1,X_2\}$ il numero aleatorio che indica il massimo tra i due precedenti. Trovare il valore atteso di $S$.

Sapendo che per definizione di massimo

$$P(max(X_1,X_2)\le t)=P(X_1\le t,X_2\le t)$$

calcoliamo la funzione di ripartizione di $S$:

$$F_S(t)=P(S\le t)=P(X_1\le t,X_2\le t)=P(X_1\le)P(X_2\le t)=t\cdot t=t^2$$

Infatti, poichè $X_1$ e $X_2$ sono indipendenti, la probabilità congiunta $P(X_1\le t,X_2\le t)$ è uguale al prodotto delle probabilità marginali $P(X_1\le)$ e $P(X_2\le t)$; inoltre, essendo $X_1,X_2\sim U(0,1)$ la funzione di ripartizione di ciascuna è pari a $t$.

Ricaviamoci la funzione di densità congiunta facendo la derivata della funzione di ripartizione:

$$f_s(t)=F'_S(t)=2t$$

Quest'ultima ci serve per poter trovare il valore atteso di $S$:

$$E(S)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf_s(t)\ dt=\int_0^12t^2\ dt=\frac{2}{3}$$

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