Esercizi sull'intervallo di confidenza per la media

  1. Intervallo di confidenza per la media con varianza nota e riflessioni sulla media campionaria come stimatore
  2. Intervallo di confidenza per la media con varianza incognita e relazione tra ampiezza campionaria e ampiezza dell'intervallo
  3.  

 Esercizio 1

Il numero medio di automobili inquinanti che entra, in un giorno lavorativo, nel centro di una grande città è pari a 10000, con una deviazione standard pari a 2053.5317. Il sindaco decide di adottare dei disincentivi all'utilizzo dei veicoli inquinanti, facendo pagare una tassa a chi vuole entrare nel centro storico. Dopo aver adottato i disincentivi, si decide di estrarre un campione casuale di 45 giorni lavorativi e di misurare il numero di automobili inquinanti.

  1. Costruire un intervallo di accettazione della media campionaria al 95%. (risoluzione)
  2. In seguito alle rilevazioni, il numero medio di automobili inquinanti è risultato pari a 9300 al giorno. Possiamo affermare che il numero di automobili inquinanti stia diminuendo, e quindi che la tassa introdotta stia portando ai risultati sperati? (risoluzione)
  3. Spiegare cosa significa affermare che la media campionaria è uno stimatore non distorto per la media della popolazione (risoluzione)

 

Punto a)

Essendo la varianza della popolazione nota, dobbiamo utilizzare la formula per il calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza nota, ossia: $$\mu\pm z_\frac{\alpha}{2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ dove $\mu=10000$, $\sigma=2053.5317$, $n=45$, $\alpha=0.05$ e quindi $z_\frac{\alpha}{2}=z_{0.025}=1.96$ (vedi qui come calcolarlo)

Pertando l'intervallo di accettazione diventa: $$10000\pm 1.96\cdot\frac{2053.5317}{\sqrt{45}}=[9400,10600]$$

 

Punto b)

Dato che la media campionaria $\overline{x}=9300$ non appartiene all'intervallo di accettazione calcolato nel punto a), possiamo pensare che la tassa stia diminuendo il numero di automobili inquinanti.

 

Punto c)

Dire che la media campionaria è uno stimatore non distorto per la media della popolazione significa che il suo valore atteso coincide con la media della popolazione $$E(\overline{X})=\mu$$

In altre parole significa che se si calcola la media di tutte le realizzazioni possibili delle medie campionarie di ampiezza $n$ estraibili dalla popolazione, otteniamo la media della popolazione.

 Esercizio 2

In un punto preciso di una strada statale, in cui c'è il limite di 60km/h, si rileva la velocità di 90 autovetture, scelte in modo casuale, ottenendo una velocità media pari a 64.8 km/h e una deviazione standard di 23.2 km/h.

  1. Costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione, con un livello di confidenza pari al 95%. (risoluzione)
  2. Se aumenta il numero di autovetture rilevate, l'ampiezza dell'intervallo di confidenza aumenta o diminuisce a parità di altre condizioni? E aumentando il livello di confidenza, sempre a parità di altre condizioni? (risoluzione)

 

Punto a)

Sia $X$ la variabile aleatoria che indica la velocità di un'autovettura nel punto della strada preso in esame. Allora si ha: $$\begin{array}{cc} \overline{x}&=&64.8\\ s&=&23.2\\ n&=&90\\ 1-\alpha&=&0.95\end{array}$$

Dato che la varianza della popolazione è sconosciuta e il campione è abbastanza grande ($n\ge 30$), possiamo usare la formula per il calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza incognita ossia: $$\overline{x}\pm t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}$$ dove $\alpha=0.05$ e quindi, utilizzando l'approssimazione normale per la t di Student si ha $t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}=t_{89,0.025}=1.96$ (vedi qui come calcolarlo)

Pertando l'intervallo di confidenza diventa: $$64.8\pm 1.96\cdot\frac{23.2}{\sqrt{90}}=[60.007,69.593]$$

 

Punto b)

All'aumentare dell'ampiezza campionaria la varianza della media campionaria si riduce, pertanto si riduce anche il margine d'errore, rendendo l'intervallo più piccolo (questo fatto si può osservare analiticamente dalla formula appena usata: infatti essendo $n$ al denominatore, la frazioni si rimpiccioliscono al suo aumentare).

All'aumentare del livello di confidenza, il termine $t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}$ diventa in valore assoluto più grande perchè ci spingiamo verso le code della distribuzione e di conseguenza aumenta anche l'ampiezza dell'intervallo.

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